九章算經點校

 
    九章算術提要
    版本與校勘
    劉徽九章算術注原序
    九章算術卷第一
      方田
    九章算術卷第二
      粟米
    九章算術卷第三
      衰分
    九章算術卷第四
      少廣
    九章算術卷第五
      商功
    九章算術卷第六
      均輸
    九章算術卷第七
      盈不足
    九章算術卷第八
      方程
    九章算術卷第九
      句股
 
 
 

        九 章 算 術 提 要

    九 章 算 術 九 卷 , 不 詳 作 者 名 氏 。 九 章 算 術 是 一 部 現 在 有 傳 本 的 、 最 古 老 的 中 國 數 學 書 , 它 的 編 纂 年 代 大 約 是 在 東 漢 初 期 。 書 中 收 集 了 二 百 四 十 六 個 應 用 問 題 的 解 法 , 分 別 隸 屬 於 方 田 、 粟 米 、 衰 分 、 少 廣 、 商 功 、 均 輸 、 盈 不 足 、 方 程 、 句 股 九 章 。

    春 秋 、 戰 國 時 期 社 會 生 產 力 的 逐 漸 提 高 , 促 進 了 數 學 知 識 和 計 算 技 能 的 發 展 。 當 時 各 國 的 統 治 階 級 要 按 畝 收 稅 , 必 須 有 測 量 土 地 、 計 算 面 積 的 方 法 ; 要 儲 備 糧 食 , 必 須 有 計 算 倉 庫 容 積 的 方 法 ; 要 修 建 灌 溉 渠 道 、 治 河 堤 防 和 其 他 土 木 工 事 , 必 須 能 計 算 工 程 人 功 ; 要 修 訂 一 個 適 合 農 業 生 產 的 曆 法 , 必 須 能 運 用 有 關 的 天 文 數 據 。 那 時 的 百 姓 掌 握 了 相 當 豐 富 的 、 由 日 常 生 活 中 產 生 的 數 學 知 識 和 計 算 技 能 。 雖 然 沒 有 一 本 先 秦 的 數 學 書 流 傳 到 後 世 , 但 無 可 懷 疑 的 是 九 章 算 術 方 田 、 粟 米 、 衰 分 、 少 廣 、 商 功 等 章 中 的 題 解 方 法 , 絕 大 部 分 是 產 生 於 秦 以 前 的 。 漢 書 藝 文 志 術 數 類 著 錄 有 許 商 算 術 二 十 六 卷 , 杜 忠 算 術 十 六 卷 , 這 兩 部 算 術 雖 早 已 失 傳 , 應 該 是 東 漢 初 編 纂 的 九 章 算 術 的 前 身 , 它 們 的 主 要 教 材 應 當 被 保 存 於 九 章 算 術 各 章 之 內 。

    周 禮 大 司 徒 篇 說 : 「 保 氏 掌 諫 王 惡 而 養 國 子 以 道 。 乃 教 之 六 藝 : 一 曰 五 禮 , 二 曰 六 樂 , 三 曰 五 射 , 四 曰 五 馭 , 五 曰 六 書 , 六 曰 九 數 。 」 這 是 說 , 主 持 貴 族 子 弟 教 育 的 保 氏 以 禮 、 樂 、 射 、 馭 、 書 、 數 為「
小 學 」 的 六 門 課 程 , 每 一 門 課 程 又 各 有 若 干 細 目 , 例 如 「 數 」 學 中 有 九 個 細 目 。 但 在 周 禮 沒 有 把 「 九 數 」 列 舉 出 來 , 我 們 就 無 法 考 證 它 的 內 容 。 漢 武 帝 時 這 部 周 禮 開 始 受 到 經 學 家 的 注 意 。 到 東 漢 時 期 , 鄭 眾 、 馬 融 等 都 為 「 九 數 」 作 了 注 解 。 東 漢 末 鄭 玄 周 禮 注 引 鄭 眾 說 :「
九 數 : 方 田 、 粟 米 、 差 分 、 少 廣 、 商 功 、 均 輸 、 方 程 、 贏 不 足 、 旁 要 , 今 有 重 差 、 句 股 。 」 事 實 上 , 鄭 眾 所 說 「 九 數 」 中 的 「 均 輸 」 已 是 漢 武 帝 太 初 元 年 以 後 的 賦 稅 制 度 , 決 不 是 周 禮 九 數 原 有 的 一 個 細 目 。 「 方 田 、 粟 米 、 差 分 、 少 廣 、 商 功 、 均 輸 、 方 程 、 贏 不 足 、 旁 要 」 大 概 是 西 漢 末 傳 統 算 術 的 主 要 綱 目 , 「 今 有 重 差 、 句 股 」 說 明 數 學 有 了 新 的 發 展 。 傳 本 九 章 算 術 將 句 股 代 替 旁 要 , 它 的 編 纂 年 代 當 在 鄭 眾 注 周 禮 「 九 數 」 ( 約 公 元 五 0 年 ) 之 後 。 後 漢 書 馬 援 傳 說 , 馬 續 「 善 九 章 算 術 」 。 馬 續 是 馬 援 的 侄 孫 , 馬 融 ( 公 元 七 九 — — 一 六 六 年 ) 之 兄 , 他 的 生 年 約 在 公 元 七 0 年 前 後 。 馬 續 研 究 九 章 算 術 大 概 在 公 元 九 0 年 前 後 。 根 據 上 述 史 料 , 我 們 認 為 九 章 算 術 的 編 定 年 代 是 在 公 元 第 一 世 紀 的 後 半 個 世 紀 , 而 各 章 的 主 要 內 容 在 第 一 世 紀 初 期 已 具 備 了 一 定 的 成 就 。

    九 章 算 術 不 但 對 後 世 的 數 學 著 作 奠 定 了 優 良 的 傳 統 , 對 世 界 數 學 的 發 展 也 有 著 重 要 的 貢 獻 。 現 在 小 學 算 術 課 程 中 的 分 數 四 則 , 各 種 比 例 , 面 積 和 體 積 , 以 及 各 類 應 用 問 題 的 解 法 , 在 九 章 算 術 方 田 、 粟 米 、 衰 分 、 商 功 、 均 輸 、 盈 不 足 等 章 已 有 了 相 當 詳 備 的 內 容 。 現 在 中 學 課 程 中 的 代 數 部 分 , 如 開 平 方 、 開 立 方 、 正 負 數 、 聯 立 一 次 方 程 組 、 二 次 方 程 等 項 目 , 在 少 廣 、 方 程 、 句 股 章 亦 已 有 了 卓 越 的 成 就 。

    傳 本 九 章 算 術 有 劉 徽 注 和 唐 李 淳 風 等 的 注 釋 。 劉 徽 是 我 國 古 代 傑 出 的 數 學 家 。 他 為 九 章 算 術 作 注 解 , 又 自 撰 重 差 一 卷 附 於 九 章 算 術 九 卷 之 後 , 故 隋 書 經 籍 志 著 錄 「 九 章 算 術 十 卷 , 劉 徽 撰 」 。 經 籍 志 又 錄 有 「 九 章 重 差 圖 一 卷 , 劉 徽 撰 」 , 當 是 十 卷 本 的 附 圖 , 可 惜 早 已 亡 佚 。 九 章 算 術 方 田 章 圓 田 術 注 和 商 功 章 圓 困 術 注 中 都 論 及 「 晉 武 庫 中 有 漢 時 王 莽 所 作 銅 斛 」 。 隋 書 律 曆 志 論 歷 代 量 制 引 商 功 章 注 , 說 「 魏 陳 留 王 景 元 四 年 ( 公 元 二 六 三 年 ) 劉 徽 注 九 章 」 。 我 們 根 據 這 些 資 料 , 認 為 劉 徽 是 魏 、 晉 時 人 。 他 的 生 平 履 歷 無 可 詳 考 。

    劉 徽 九 章 算 術 注 自 序 說 : 「 又 所 析 理 以 辭 , 解 體 用 圖 。 庶 亦 約 而 能 周 , 通 而 不 黷 , 覽 之 者 思 過 半 矣 。 」 這 是 說 , 問 題 解 法 的 理 論 分 析 , 要 用 明 確 的 語 言 表 達 出 來 ; 空 間 形 體 的 具 體 分 解 , 要 用 幾 何 圖 形 顯 示 出 來 。 這 樣 纔 能 做 到 又 簡 又 明 , 啟 發 讀 者 的 思 考 。 他 在 注 中 一 方 面 整 理 九 章 算 術 各 個 問 題 的 解 法 , 理 論 上 屬 於 一 類 的 使 它 們 歸 於 一 類 , 提 綱 挈 領 地 闡 明 所 以 能 解 的 道 理 。 在 另 一 方 面 , 對 於 原 來 所 有 不 夠 準 確 的 近 似 計 算 , 他 提 出 了 更 精 確 的 計 算 方 法 。 例 如 九 章 算 術 原 術 取 用 三 為 圓 周 率 , 他 通 過 了 圓 內 接 正 三 百 八 十 四 邊 形 和 正 三 千 零 七 十 二 邊 形 面 積 的 嚴 密 計 算 , 得 到 圓 周 率 的 近 似 值 , 五 十 分 之 一 百 五 十 七 , 或 一 千 二 百 五 十 分 之 三 千 九 百 二 十 七 。 又 如 開 平 方 或 開 立 方 不 盡 時 ( 平 方 根 或 立 方 根 為 無 理 數 ) , 原 有 以 分 數 表 示 奇 零 部 分 的 方 法 不 甚 準 確 , 他 主 張 繼 續 開 方 , 得 出 以 十 進 分 數 表 示 平 方 根 或 立 方 根 的 近 似 值 。 此 外 , 他 創 立 許 多 新 的 解 題 方 法 , 例 如 盈 不 足 章 第 十 九 題 的 等 差 級 數 求 和 法 , 方 程 章 第 七 題 的 互 乘 相 消 法 , 第 九 題 的 消 去 常 數 項 法 , 句 股 章 第 十 六 題 的 內 切 圓 徑 公 式 等 等 , 都 比 原 術 簡 便 。

    唐 李 淳 風 等 對 劉 徽 注 本 九 章 算 術 作 了 一 些 解 釋 , 原 有 劉 注 意 義 十 分 明 確 的 不 再 補 注 , 盈 不 足 、 方 程 二 章 就 沒 有 他 們 的 注 釋 。 九 章 算 術 所 有 與 圓 面 積 有 關 的 問 題 , 都 取 圓 周 率 三 計 算 , 劉 徽 注 以 為 應 取 五 十 分 之 一 百 五 十 七 , 李 淳 風 等 補 注 認 為 可 以 用 七 分 之 二 十 二 計 算 , 這 是 對 的 。 但 七 分 之 二 十 二 是 祖 沖 之 的 所 謂 「 約 率 」 , 而 李 淳 風 等 引 用 此 率 , 稱 它 為 「 密 率 」 。 後 世 人 誤 認 七 分 之 二 十 二 為 「 密 率 」 的 很 多 , 這 是 李 注 的 謬 種 流 傳 。 少 廣 章 開 立 圓 術 , 李 淳 風 等 注 釋 引 祖 之 說 , 介 紹 球 體 積 公 式 的 理 論 基 礎 。 綴 術 書 失 傳 後 , 祖 沖 之 父 子 對 於 球 體 積 的 研 究 , 幸 有 李 淳 風 等 的 徵 引 而 得 流 傳 到 現 在 。

    劉 、 李 注 本 九 章 算 術 到 北 宋 仁 宗 時 有 賈 憲 所 撰 的 細 草 , 原 書 早 已 失 傳 , 但 永 樂 大 典 中 保 存 楊 輝 所 引 的 賈 憲 開 方 法 是 非 常 寶 貴 的 數 學 史 料 。 南 宋 末 有 楊 輝 詳 解 九 章 算 法 十 二 卷 ( 一 二 六 一 ) , 現 在 僅 存 商 功 、 均 輸 、 盈 不 足 、 方 程 、 句 股 五 章 和 「 九 章 算 法 纂 類 」 。 楊 輝 鈔 錄 的 九 章 算 術 本 文 和 劉 、 李 二 家 注 文 有 很 多 脫 誤 , 但 也 有 可 據 以 對 校 永 樂 大 典 本 的 文 字 。 清 嘉 慶 初 年 李 潢 撰 九 章 算 術 細 草 圖 說 九 卷 , 有 校 勘 、 有 補 圖 、 有 詳 草 、 有 說 明 , 發 揮 九 章 算 術 劉 徽 注 的 原 意 , 對 於 讀 者 是 大 有 裨 益 的 。
 
 
 

        版 本 與 校 勘

    劉 、 李 注 本 九 章 算 術 在 宋 代 有 北 宋 元 豐 七 年 ( 公 元 一 0 八 四 年 ) 秘 書 省 刻 本 和 南 宋 嘉 定 年 鮑 澣 之 刻 本 。 明 代 永 樂 大 典 依 據 九 章 名 義 分 類 抄 錄 , 到 清 朝 初 年 並 未 散 佚 。 明 代 留 心 古 典 數 學 的 人 很 少 , 九 章 算 術 非 但 沒 有 新 的 刻 本 , 連 宋 代 遺 留 下 來 的 舊 書 也 漸 次 散 佚 。 清 初 南 京 黃 虞 稷 家 中 有 南 宋 刻 本 九 章 算 術 , 僅 存 方 田 、 粟 米 、 衰 分 、 少 廣 、 商 功 五 章 。 一 六 七 八 年 梅 文 鼎 到 南 京 應 鄉 試 時 曾 到 黃 家 翻 閱 過 。 這 個 殘 本 九 章 算 術 於 乾 隆 中 為 曲 阜 孔 繼 涵 所 得 , 嘉 慶 中 為 陽 城 張 敦 仁 所 得 , 今 存 上 海 圖 書 館 。 常 熟 毛 扆 於 一 六 八 四 年 向 黃 家 借 鈔 得 一 影 宋 鈔 本 。 這 個 影 宋 的 殘 本 九 章 算 術 於 乾 隆 中 轉 入 清 宮 , 作 為 天 祿 琳 琅 閣 藏 書 , 今 存 故 宮 博 物 院 。 一 九 三 二 年 故 宮 博 物 院 把 它 影 印 為 天 祿 琳 琅 叢 書 的 一 種 。

    乾 隆 三 十 八 年 ( 一 七 七 三 ) 開 四 庫 全 書 館 , 婺 源 戴 震 充 四 庫 全 書 纂 修 及 分 校 官 。 次 年 , 戴 震 從 永 樂 大 典 中 抄 集 九 章 算 術 九 卷 , 並 且 做 了 一 番 校 勘 工 作 。 四 庫 全 書 本 和 武 英 殿 聚 珍 版 本 九 章 算 術 都 有 戴 震 的 校 訂 文 字 和 補 圖 。 商 務 印 書 館 刊 行 的 叢 書 集 成 本 是 依 據 武 英 殿 本 排 印 的 。

    戴 震 的 兒 女 親 家 孔 繼 涵 刻 微 波 榭 本 算 經 十 書 , 其 中 九 章 算 術 九 卷 採 用 戴 震 的 校 定 本 。 戴 震 校 正 的 文 字 , 顛 撲 不 破 的 果 然 不 少 , 但 也 有 些 地 方 , 他 師 心 自 用 , 把 原 本 不 錯 的 文 字 改 掉 , 後 來 的 讀 者 很 容 易 被 他 蒙 蔽 而 引 起 誤 會 。 所 以 作 為 一 個 善 本 書 看 , 微 波 榭 本 的 參 考 價 值 是 遠 不 如 武 英 殿 本 的 。 微 波 榭 本 九 章 算 術 卷 九 的 最 後 一 頁 上 題 稱 「 大 清 乾 隆 三 十 八 年 癸 巳 秋 闕 里 孔 氏 依 汲 古 閣 影 宋 刻 本 重 雕 」 , 書 的 底 本 和 刻 書 年 代 都 有 問 題 , 顯 然 是 不 足 徵 信 的 。 此 後 依 據 微 波 榭 本 翻 刻 的 九 章 算 術 有 常 熟 屈 曾 發 的 重 刻 本 、 南 昌 梅 啟 照 的 算 經 十 書 本 和 商 務 印 書 館 的 萬 有 文 庫 本 、 四 部 叢 刊 本 等 等 。

    嘉 慶 年 鍾 祥 李 潢 撰 九 章 算 術 細 草 圖 說 , 用 微 波 榭 本 作 底 本 , 校 正 了 很 多 錯 誤 文 字 。 戴 震 所 謂 「 舛 誤 不 可 通 」 而 無 法 校 訂 的 文 句 , 經 過 李 潢 校 訂 後 , 一 般 都 能 文 從 字 順 容 易 理 解 了 。 但 碰 到 戴 震 誤 改 原 文 的 地 方 , 他 就 沒 有 能 夠 糾 正 過 來 。 方 程 章 最 後 一 題 的 劉 徽 注 中 , 敘 述 了 兩 個 「 新 術 」 的 演 算 程 序 , 文 字 冗 長 , 數 字 繁 瑣 , 舊 刻 本 的 訛 文 奪 字 很 多 , 不 容 易 整 理 。 李 潢 的 友 人 戴 敦 元 和 李 銳 各 代 為 校 正 一 術 。 李 潢 就 照 錄 他 們 的 校 定 稿 作 為 細 草 圖 說 的 一 部 分 。 又 , 均 輸 章 第 八 題 答 數 、 術 文 和 李 淳 風 等 的 注 文 俱 有 訛 字 , 李 潢 未 能 訂 正 , 沈 欽 裴 於 李 潢 死 後 算 校 編 輯 付 刻 時 代 為 校 正 。

    為 了 要 恢 復 唐 代 立 於 學 官 的 劉 、 李 注 本 九 章 算 術 , 我 根 據 天 祿 琳 琅 叢 書 本 和 宜 稼 堂 本 楊 輝 詳 解 九 章 算 法 所 引 , 重 加 校 訂 , 寫 出 了 校 勘 記 四 百 六 十 餘 條 。 戴 震 、 李 潢 二 家 所 校 定 的 文 字 認 為 是 正 確 的 , 於 校 勘 記 中 聲 明 他 們 的 開 辟 草 萊 的 功 績 。 也 有 各 本 俱 誤 而 各 家 漏 校 或 誤 校 的 文 字 , 只 能 憑 個 人 意 見 , 擅 自 校 改 , 但 在 校 勘 記 中 保 留 各 本 原 有 的 異 文 衍 字 。 商 功 章 陽 馬 術 和 句 股 章 容 圓 術 的 劉 徽 注 中 各 有 意 義 難 於 理 解 而 不 能 句 讀 的 文 字 , 無 法 校 訂 , 只 能 付 之 缺 疑 。
 
 
 

        劉 徽 九 章 算 術 注 原 序

    昔 在 包 犧 氏 始 畫 八 卦 , 以 通 神 明 之 德 , 以 類 萬 物 之 情 , 作 九 九 之 術 以 合 六 爻 之 變 。 暨 於 黃 帝 神 而 化 之 , 引 而 伸 之 , 於 是 建 曆 紀 , 協 律 呂 , 用 稽 道 原 , 然 後 兩 儀 四 象 精 微 之 氣 可 得 而 效 焉 。 記 稱 隸 首 作 數 , 其 詳 未 之 聞 也 。 按 周 公 制 禮 而 有 九 數 , 九 數 之 流 , 則 九 章 是 矣 。

    往 者 暴 秦 焚 書 , 經 術 散 壞 。 自 時 厥 後 , 漢 北 平 侯 張 蒼 、 大 司 農 中 丞 耿 壽 昌 皆 以 善 算 命 世 。 蒼 等 因 舊 文 之 遺 殘 , 各 稱 刪 補 。 故 校 其 目 則 與 古 或 異 , 而 所 論 者 多 近 語 也 。

    徽 幼 習 九 章 , 長 再 詳 覽 。 觀 陰 陽 之 割 裂 , 總 算 術 之 根 源 , 探 賾 之 暇 , 遂 悟 其 意 。 是 以 敢 竭 頑 魯 , 采 其 所 見 , 為 之 作 注 。 事 類 相 推 , 各 有 攸 歸 , 故 枝 條 雖 分 而 同 本 榦 者 , 知 發 其 一 端 而 已 。 又 所 析 理 以 辭 , 解 體 用 圖 , 庶 亦 約 而 能 周 , 通 而 不 黷 , 覽 之 者 思 過 半 矣 。 且 算 在 六 藝 , 古 者 以 賓 興 賢 能 , 教 習 國 子 。 雖 曰 九 數 , 其 能 窮 纖 入 微 , 探 測 無 方 。 至 於 以 法 相 傳 , 亦 猶 規 矩 度 量 可 得 而 共 , 非 特 難 為 也 。 當 今 好 之 者 寡 , 故 世 雖 多 通 才 達 學 , 而 未 必 能 綜 於 此 耳 。

    周 官 大 司 徒 職 , 夏 至 日 中 立 八 尺 之 表 , 其 景 尺 有 五 寸 , 謂 之 地 中 。 說 云 , 南 戴 日 下 萬 五 千 里 。 夫 云 爾 者 , 以 術 推 之 。 按 九 章 立 四 表 望 遠 及 因 木 望 山 之 術 , 皆 端 旁 互 見 , 無 有 超 邈 若 斯 之 類 。 然 則 蒼 等 為 術 猶 未 足 以 博 盡 群 數 也 。 徽 尋 九 數 有 重 差 之 名 , 原 其 指 趣 乃 所 以 施 於 此 也 。 凡 望 極 高 、 測 絕 深 而 兼 知 其 遠 者 必 用 重 差 , 句 股 則 必 以 重 差 為 率 , 故 曰 重 差 也 。 立 兩 表 於 洛 陽 之 城 , 令 高 八 尺 。 南 北 各 盡 平 地 , 同 日 度 其 正 中 之 景 。 以 景 差 為 法 , 表 高 乘 表 間 為 實 , 實 如 法 而 一 , 所 得 加 表 高 , 即 日 去 地 也 。 以 南 表 之 景 乘 表 間 為 實 , 實 如 法 而 一 , 即 為 從 南 表 至 南 戴 日 下 也 。 以 南 戴 日 下 及 日 去 地 為 句 、 股 , 為 之 求 弦 , 即 日 去 人 也 。 以 徑 寸 之 筩 南 望 日 , 日 滿 筩 空 , 則 定 筩 之 長 短 以 為 股 率 , 以 筩 徑 為 句 率 , 日 去 人 之 數 為 大 股 , 大 股 之 句 即 日 徑 也 。 雖 天 圓 穹 之 象 猶 曰 可 度 , 又 況 泰 山 之 高 與 江 海 之 廣 哉 。 徽 以 為 今 之 史 籍 且 略 舉 天 地 之 物 , 考 論 厥 數 , 載 之 於 志 , 以 闡 世 術 之 美 。 輒 造 重 差 , 并 為 注 解 , 以 究 古 人 之 意 , 綴 於 句 股 之 下 。 度 高 者 重 表 , 測 深 者 累 矩 , 孤 離 者 三 望 , 離 而 又 旁 求 者 四 望 。 觸 類 而 長 之 , 則 雖 幽 遐 詭 伏 , 靡 所 不 入 。 博 物 君 子 , 詳 而 覽 焉 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 一

    方 田

〔 一 〕 今 有 田 廣 十 五 步 , 從 十 六 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 畝 。

〔 二 〕 又 有 田 廣 十 二 步 , 從 十 四 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 六 十 八 步 。

          方 田 術 曰 : 廣 從 步 數 相 乘 得 積 步 。

          以 畝 法 二 百 四 十 步 除 之 , 即 畝 數 。 百 畝 為 一 頃 。

〔 三 〕 今 有 田 廣 一 里 , 從 一 里 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 頃 七 十 五 畝 。

〔 四 〕 又 有 田 廣 二 里 , 從 三 里 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 二 頃 五 十 畝 。

          里 田 術 曰 : 廣 從 里 數 相 乘 得 積 里 。 以 三 百 七 十 五 乘 之 , 即 畝 數 。

〔 五 〕 今 有 十 八 分 之 十 二 。 問 約 之 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 分 之 二 。

〔 六 〕 又 有 九 十 一 分 之 四 十 九 。 問 約 之 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 十 三 分 之 七 。

          約 分 術 曰 : 可 半 者 半 之 , 不 可 半 者 , 副 置 分 母 子 之 數 , 以 少 減 多 , 更 相 減 損 , 求 其 等 也 。 以 等 數 約 之 。

〔 七 〕 今 有 三 分 之 一 , 五 分 之 二 。 問 合 之 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 十 五 分 之 十 一 。

〔 八 〕 又 有 三 分 之 二 , 七 分 之 四 , 九 分 之 五 。 問 合 之 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 得 一 、 六 十 三 分 之 五 十 。

〔 九 〕 又 有 二 分 之 一 , 三 分 之 二 , 四 分 之 三 , 五 分 之 四 。 問 合 之 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 得 二 、 六 十 分 之 四 十 三 。

          合 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 并 以 為 實 , 母 相 乘 為 法 , 實 如 法 而 一 。 不 滿 法 者 , 以 法 命 之 。 其 母 同 者 , 直 相 從 之 。

〔 一 0 〕 今 有 九 分 之 八 , 減 其 五 分 之 一 。 問 餘 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 十 五 分 之 三 十 一 。

〔 一 一 〕 又 有 四 分 之 三 , 減 其 三 分 之 一 。 問 餘 幾 何 ?

              荅 曰 : 十 二 分 之 五 。

            減 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 以 少 減 多 , 餘 為 實 , 母 相 乘 為 法 , 實 如 法 而 一 。

〔 一 二 〕 今 有 八 分 之 五 , 二 十 五 分 之 十 六 。 問 孰 多 ? 多 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 五 分 之 十 六 多 , 多 二 百 分 之 三 。

〔 一 三 〕 又 有 九 分 之 八 , 七 分 之 六 。 問 孰 多 ? 多 幾 何 ?

              荅 曰 : 九 分 之 八 多 , 多 六 十 三 分 之 二 。

〔 一 四 〕 又 有 二 十 一 分 之 八 , 五 十 分 之 十 七 。 問 孰 多 ? 多 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 一 分 之 八 多 , 多 一 千 五 十 分 之 四 十 三 。

            課 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 以 少 減 多 , 餘 為 實 , 母 相 乘 為 法 , 實 如 法 而 一 , 即 相 多 也 。

〔 一 五 〕 今 有 三 分 之 一 , 三 分 之 二 , 四 分 之 三 。 問 減 多 益 少 , 各 幾 何 而 平 ?

              荅 曰 : 減 四 分 之 三 者 二 , 三 分 之 二 者 一 , 并 以 益 三 分 之 一 , 而 各 平 於 十 二 分 之 七 。

〔 一 六 〕 又 有 二 分 之 一 , 三 分 之 二 , 四 分 之 三 。 問 減 多 益 少 , 各 幾 何 而 平 ?

              荅 曰 : 減 三 分 之 二 者 一 , 四 分 之 三 者 四 , 并 以 益 二 分 之 一 , 而 各 平 於 三 十 六 分 之 二 十 三 。

            平 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 副 并 為 平 實 , 母 相 乘 為 法 。 以 列 數 乘 未 并 者 各 自 為 列 實 。 亦 以 列 數 乘 法 , 以 平 實 減 列 實 , 餘 , 約 之 為 所 減 。 并 所 減 以 益 於 少 , 以 法 命 平 實 , 各 得 其 平 。

〔 一 七 〕 今 有 七 人 , 分 八 錢 三 分 錢 之 一 。 問 人 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 人 得 一 錢 、 二 十 一 分 錢 之 四 。

〔 一 八 〕 又 有 三 人 , 三 分 人 之 一 , 分 六 錢 三 分 錢 之 一 , 四 分 錢 之 三 。 問 人 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 人 得 二 錢 、 八 分 錢 之 一 。

            經 分 術 曰 : 以 人 數 為 法 , 錢 數 為 實 , 實 如 法 而 一 。 有 分 者 通 之 , 重 有 分 者 同 而 通 之 。

〔 一 九 〕 今 有 田 廣 七 分 步 之 四 , 從 五 分 步 之 三 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 十 五 分 步 之 十 二 。

〔 二 0 〕 又 有 田 廣 九 分 步 之 七 , 從 十 一 分 步 之 九 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 十 一 分 步 之 七 。

〔 二 一 〕 又 有 田 廣 五 分 步 之 四 , 從 九 分 步 之 五 , 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 九 分 步 之 四 。

            乘 分 術 曰 : 母 相 乘 為 法 , 子 相 乘 為 實 , 實 如 法 而 一 。

〔 二 二 〕 今 有 田 廣 三 步 、 三 分 步 之 一 , 從 五 步 、 五 分 步 之 二 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 十 八 步 。

〔 二 三 〕 又 有 田 廣 七 步 、 四 分 步 之 三 , 從 十 五 步 、 九 分 步 之 五 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 二 十 步 、 九 分 步 之 五 。

〔 二 四 〕 又 有 田 廣 十 八 步 、 七 分 步 之 五 , 從 二 十 三 步 、 十 一 分 步 之 六 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 畝 二 百 步 、 十 一 分 步 之 七 。

            大 廣 田 術 曰 : 分 母 各 乘 其 全 , 分 子 從 之 , 相 乘 為 實 。 分 母 相 乘 為 法 。 實 如 法 而 一 。

〔 二 五 〕 今 有 圭 田 廣 十 二 步 , 正 從 二 十 一 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 二 十 六 步 。

〔 二 六 〕 又 有 圭 田 廣 五 步 、 二 分 步 之 一 , 從 八 步 、 三 分 步 之 二 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 三 步 、 六 分 步 之 五 。

            術 曰 : 半 廣 以 乘 正 從 。

〔 二 七 〕 今 有 邪 田 , 一 頭 廣 三 十 步 , 一 頭 廣 四 十 二 步 , 正 從 六 十 四 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 九 畝 一 百 四 十 四 步 。

〔 二 八 〕 又 有 邪 田 , 正 廣 六 十 五 步 , 一 畔 從 一 百 步 , 一 畔 從 七 十 二 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 三 畝 七 十 步 。

            術 曰 : 并 兩 邪 而 半 之 , 以 乘 正 從 若 廣 。 又 可 半 正 從 若 廣 , 以 乘 并 , 畝 法 而 一 。

〔 二 九 〕 今 有 箕 田 , 舌 廣 二 十 步 , 踵 廣 五 步 , 正 從 三 十 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 畝 一 百 三 十 五 步 。

〔 三 0 〕 又 有 箕 田 , 舌 廣 一 百 一 十 七 步 , 踵 廣 五 十 步 , 正 從 一 百 三 十 五 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 十 六 畝 二 百 三 十 二 步 半 。

            術 曰 : 并 踵 舌 而 半 之 , 以 乘 正 從 。 畝 法 而 一 。

〔 三 一 〕 今 有 圓 田 , 周 三 十 步 , 徑 十 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 十 五 步 。

〔 三 二 〕 又 有 圓 田 , 周 一 百 八 十 一 步 , 徑 六 十 步 、 三 分 步 之 一 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 十 一 畝 九 十 步 、 十 二 分 步 之 一 。

            術 曰 : 半 周 半 徑 相 乘 得 積 步 。

            又 術 曰 : 周 徑 相 乘 , 四 而 一 。

            又 術 曰 : 徑 自 相 乘 , 三 之 , 四 而 一 。

            又 術 曰 : 周 自 相 乘 , 十 二 而 一 。

〔 三 三 〕 今 有 宛 田 , 下 周 三 十 步 , 徑 十 六 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 二 十 步 。

〔 三 四 〕 又 有 宛 田 , 下 周 九 十 九 步 , 徑 五 十 一 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 畝 六 十 二 步 、 四 分 步 之 一 。

            術 曰 : 以 徑 乘 周 , 四 而 一 。

〔 三 五 〕 今 有 弧 田 , 弦 三 十 步 , 矢 十 五 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 畝 九 十 七 步 半 。

〔 三 六 〕 又 有 弧 田 , 弦 七 十 八 步 、 二 分 步 之 一 , 矢 十 三 步 、 九 分 步 之 七 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 畝 一 百 五 十 五 步 、 八 十 一 分 步 之 五 十 六 。

            術 曰 : 以 弦 乘 矢 , 矢 又 自 乘 , 并 之 , 二 而 一 。

〔 三 七 〕 今 有 環 田 , 中 周 九 十 二 步 , 外 周 一 百 二 十 二 步 , 徑 五 步 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 畝 五 十 五 步 。

〔 三 八 〕 又 有 環 田 , 中 周 六 十 二 步 、 四 分 步 之 三 , 外 周 一 百 一 十 三 步 、 二 分 步 之 一 , 徑 十 二 步 、 三 分 步 之 二 。 問 為 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 畝 一 百 五 十 六 步 、 四 分 步 之 一 。

            術 曰 : 并 中 外 周 而 半 之 , 以 徑 乘 之 為 積 步 。

            密 率 術 曰 : 置 中 外 周 步 數 , 分 母 、 子 各 居 其 下 。 母 互 乘 子 , 通 全 步 , 內 分 子 。 以 中 周 減 外 周 , 餘 半 之 , 以 益 中 周 。 徑 亦 通 分 內 子 , 以 乘 周 為 實 。 分 母 相 乘 為 法 , 除 之 為 積 步 , 餘 積 步 之 分 。 以 畝 法 除 之 , 即 畝 數 也 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 二

    粟 米

      粟 米 之 法 :
          粟 率 五 十       糲 米 三 十
          粺 米 二 十 七     鑿 米 二 十 四
          御 米 二 十 一     小 ● 十 三 半
          大 ● 五 十 四     糲 飯 七 十 五
          粺 飯 五 十 四     鑿 飯 四 十 八
          御 飯 四 十 二     菽 、 荅 、 麻 、 麥 各 四 十 五
          稻 六 十         豉 六 十 三
          飧 九 十         熟 菽 一 百 三 半
          櫱 一 百 七 十 五

          今 有 術 曰 : 以 所 有 數 乘 所 求 率 為 實 , 以 所 有 率 為 法 , 實 如 法 而 一 。

〔 一 〕 今 有 粟 一 斗 , 欲 為 糲 米 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 糲 米 六 升 。

          術 曰 : 以 粟 求 糲 米 , 三 之 , 五 而 一 。

〔 二 〕 今 有 粟 二 斗 一 升 , 欲 為 粺 米 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粺 米 一 斗 一 升 、 五 十 分 升 之 十 七 。

          術 曰 : 以 粟 求 粺 米 , 二 十 七 之 , 五 十 而 一 。

〔 三 〕 今 有 粟 四 斗 五 升 , 欲 為 鑿 米 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 鑿 米 二 斗 一 升 、 五 分 升 之 三 。

          術 曰 : 以 粟 求 鑿 米 , 十 二 之 , 二 十 五 而 一 。

〔 四 〕 今 有 粟 七 斗 九 升 , 欲 為 御 米 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 御 米 三 斗 三 升 、 五 十 分 升 之 九 。

          術 曰 : 以 粟 求 御 米 , 二 十 一 之 , 五 十 而 一 。

〔 五 〕 今 有 粟 一 斗 , 欲 為 小 ● 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 小 ● 二 升 、 一 十 分 升 之 七 。

          術 曰 : 以 粟 求 小 ● , 二 十 七 之 , 百 而 一 。

〔 六 〕 今 有 粟 九 斗 八 升 , 欲 為 大 ● 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 大 ● 一 十 斗 五 升 、 二 十 五 分 升 之 二 十 一 。

          術 曰 : 以 粟 求 大 ● , 二 十 七 之 , 二 十 五 而 一 。

〔 七 〕 今 有 粟 二 斗 三 升 , 欲 為 糲 飯 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 糲 飯 三 斗 四 升 半 。

          術 曰 : 以 粟 求 糲 飯 , 三 之 , 二 而 一 。

〔 八 〕 今 有 粟 三 斗 六 升 , 欲 為 粺 飯 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粺 飯 三 斗 八 升 、 二 十 五 分 升 之 二 十 二 。

          術 曰 : 以 粟 求 粺 飯 , 二 十 七 之 , 二 十 五 而 一 。

〔 九 〕 今 有 粟 八 斗 六 升 , 欲 為 鑿 飯 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 鑿 飯 八 斗 二 升 、 二 十 五 分 升 之 一 十 四 。

          術 曰 : 以 粟 求 鑿 飯 , 二 十 四 之 , 二 十 五 而 一 。

〔 一 0 〕 今 有 粟 九 斗 八 升 , 欲 為 御 飯 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 御 飯 八 斗 二 升 、 二 十 五 分 升 之 八 。

          術 曰 : 以 粟 求 御 飯 , 二 十 一 之 , 二 十 五 而 一 。

〔 一 一 〕 今 有 粟 三 斗 少 半 升 , 欲 為 菽 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 菽 二 斗 七 升 、 一 十 分 升 之 三 。

〔 一 二 〕 今 有 粟 四 斗 一 升 、 太 半 升 , 欲 為 荅 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 荅 三 斗 七 升 半 。

〔 一 三 〕 今 有 粟 五 斗 、 太 半 升 , 欲 為 麻 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 麻 四 斗 五 升 、 五 分 升 之 三 。

〔 一 四 〕 今 有 粟 一 十 斗 八 升 、 五 分 升 之 二 , 欲 為 麥 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 麥 九 斗 七 升 、 二 十 五 分 升 之 一 十 四 。

          術 曰 : 以 粟 求 菽 、 荅 、 麻 、 麥 , 皆 九 之 , 十 而 一 。

〔 一 五 〕 今 有 粟 七 斗 五 升 、 七 分 升 之 四 , 欲 為 稻 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 稻 九 斗 、 三 十 五 分 升 之 二 十 四 。

          術 曰 : 以 粟 求 稻 , 六 之 , 五 而 一 。

〔 一 六 〕 今 有 粟 七 斗 八 升 , 欲 為 豉 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 豉 九 斗 八 升 、 二 十 五 分 升 之 七 。

          術 曰 : 以 粟 求 豉 , 六 十 三 之 , 五 十 而 一 。

〔 一 七 〕 今 有 粟 五 斗 五 升 , 欲 為 飧 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 飧 九 斗 九 升 。

          術 曰 : 以 粟 求 飧 , 九 之 , 五 而 一 。

〔 一 八 〕 今 有 粟 四 斗 , 欲 為 熟 菽 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 熟 菽 八 斗 二 升 、 五 分 升 之 四 。

          術 曰 : 以 粟 求 熟 菽 , 二 百 七 之 , 百 而 一 。

〔 一 九 〕 今 有 粟 二 斗 , 欲 為 櫱 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 櫱 七 斗 。

          術 曰 : 以 粟 求 櫱 , 七 之 , 二 而 一 。

〔 二 0 〕 今 有 糲 米 十 五 斗 五 升 、 五 分 升 之 二 , 欲 為 粟 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粟 二 十 五 斗 九 升 。

          術 曰 : 以 糲 米 求 粟 , 五 之 , 三 而 一 。

〔 二 一 〕 今 有 粺 米 二 斗 , 欲 為 粟 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粟 三 斗 七 升 、 二 十 七 分 升 之 一 。

          術 曰 : 以 粺 米 求 粟 , 五 十 之 , 二 十 七 而 一 。

〔 二 二 〕 今 有 鑿 米 三 斗 、 少 半 升 , 欲 為 粟 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粟 六 斗 三 升 、 三 十 六 分 升 之 七 。

          術 曰 : 以 鑿 米 求 粟 , 二 十 五 之 , 十 三 而 一 。

〔 二 三 〕 今 有 御 米 十 四 斗 , 欲 為 粟 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粟 三 十 三 斗 三 升 、 少 半 升 。

          術 曰 : 以 御 米 求 粟 , 五 十 之 , 二 十 一 而 一 。

〔 二 四 〕 今 有 稻 一 十 二 斗 六 升 、 一 十 五 分 升 之 一 十 四 , 欲 為 粟 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粟 一 十 斗 五 升 、 九 分 升 之 七 。

          術 曰 : 以 稻 求 粟 , 五 之 , 六 而 一 。

〔 二 五 〕 今 有 糲 米 一 十 九 斗 二 升 、 七 分 升 之 一 , 欲 為 粺 米 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 粺 米 一 十 七 斗 二 升 、 一 十 四 分 升 之 一 十 三 。

          術 曰 : 以 糲 米 求 粺 米 , 九 之 , 十 而 一 。

〔 二 六 〕 今 有 糲 米 六 斗 四 升 、 五 分 升 之 三 , 欲 為 糲 飯 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 糲 飯 一 十 六 斗 一 升 半 。

          術 曰 : 以 糲 米 求 糲 飯 , 五 之 , 二 而 一 。

〔 二 七 〕 今 有 糲 飯 七 斗 六 升 、 七 分 升 之 四 , 欲 為 飧 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 飧 九 斗 一 升 、 三 十 五 分 升 之 三 十 一 。

          術 曰 : 以 糲 飯 求 飧 , 六 之 , 五 而 一 。

〔 二 八 〕 今 有 菽 一 斗 , 欲 為 熟 菽 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 熟 菽 二 斗 三 升 。

          術 曰 : 以 菽 求 熟 菽 , 二 十 三 之 , 十 而 一 。

〔 二 九 〕 今 有 菽 二 斗 , 欲 為 豉 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 豉 二 斗 八 升 。

          術 曰 : 以 菽 求 豉 , 七 之 , 五 而 一 。

〔 三 0 〕 今 有 麥 八 斗 六 升 、 七 分 升 之 三 , 欲 為 小 ● , 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 小 ● 二 斗 五 升 、 一 十 四 分 升 之 一 十 三 。

          術 曰 : 以 麥 求 小 ● , 三 之 , 十 而 一 。

〔 三 一 〕 今 有 麥 一 斗 , 欲 為 大 ● 。 問 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 為 大 ● 一 斗 二 升 。

          術 曰 : 以 麥 求 大 ● , 六 之 , 五 而 一 。

〔 三 二 〕 今 有 出 錢 一 百 六 十 , 買 瓴 甓 十 八 枚 。 問 枚 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 枚 , 八 錢 、 九 分 錢 之 八 。

〔 三 三 〕 今 有 出 錢 一 萬 三 千 五 百 , 買 竹 二 千 三 百 五 十 箇 。 問 箇 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 箇 , 五 錢 、 四 十 七 分 錢 之 三 十 五 。

          經 率 術 曰 : 以 所 買 率 為 法 , 所 出 錢 數 為 實 , 實 如 法 得 一 錢 。

〔 三 四 〕 今 有 出 錢 五 千 七 百 八 十 五 , 買 漆 一 斛 六 斗 七 升 、 太 半 升 。 欲 斗 率 之 , 問 斗 幾 何 。

              荅 曰 : 一 斗 , 三 百 四 十 五 錢 、 五 百 三 分 錢 之 一 十 五 。

〔 三 五 〕 今 有 出 錢 七 百 二 十 , 買 縑 一 匹 二 丈 一 尺 。 欲 丈 率 之 , 問 丈 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 丈 , 一 百 一 十 八 錢 、 六 十 一 分 錢 之 二 。

〔 三 六 〕 今 有 出 錢 二 千 三 百 七 十 , 買 布 九 匹 二 丈 七 尺 。 欲 匹 率 之 , 問 匹 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 匹 , 二 百 四 十 四 錢 、 一 百 二 十 九 分 錢 之 一 百 二 十 四 。

〔 三 七 〕 今 有 出 錢 一 萬 三 千 六 百 七 十 , 買 絲 一 石 二 鈞 一 十 七 斤 。 欲 石 率 之 , 問 石 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 石 , 八 千 三 百 二 十 六 錢 、 一 百 九 十 七 分 錢 之 一 百 七 十 八 。

          經 術 術 曰 : 以 所 求 率 乘 錢 數 為 實 , 以 所 買 率 為 法 , 實 如 法 得 一 。

〔 三 八 〕 今 有 出 錢 五 百 七 十 六 , 買 竹 七 十 八 箇 。 欲 其 大 小 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 四 十 八 箇 , 箇 七 錢 。
              其 三 十 箇 , 箇 八 錢 。

〔 三 九 〕 今 有 出 錢 一 千 一 百 二 十 , 買 絲 一 石 二 鈞 十 八 斤 。 欲 其 貴 賤 斤 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 二 鈞 八 斤 , 斤 五 錢 。
              其 一 石 一 十 斤 , 斤 六 錢 。

〔 四 0 〕 今 有 出 錢 一 萬 三 千 九 百 七 十 , 買 絲 一 石 二 鈞 二 十 八 斤 三 兩 五 銖 。 欲 其 貴 賤 石 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 一 鈞 九 兩 一 十 二 銖 , 石 八 千 五 十 一 錢 。
              其 一 石 一 鈞 二 十 七 斤 九 兩 一 十 七 銖 , 石 八 千 五 十 二 錢 。

〔 四 一 〕 今 有 出 錢 一 萬 三 千 九 百 七 十 , 買 絲 一 石 二 鈞 二 十 八 斤 三 兩 五 銖 。 欲 其 貴 賤 鈞 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 七 斤 一 十 兩 九 銖 , 鈞 二 千 一 十 二 錢 。
              其 一 石 二 鈞 二 十 斤 八 兩 二 十 銖 , 鈞 二 千 一 十 三 錢 。

〔 四 二 〕 今 有 出 錢 一 萬 三 千 九 百 七 十 , 買 絲 一 石 二 鈞 二 十 八 斤 三 兩 五 銖 。 欲 其 貴 賤 斤 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 一 石 二 鈞 七 斤 十 兩 四 銖 , 斤 六 十 七 錢 。
              其 二 十 斤 九 兩 一 銖 , 斤 六 十 八 錢 。

〔 四 三 〕 今 有 出 錢 一 萬 三 千 九 百 七 十 , 買 絲 一 石 二 鈞 二 十 八 斤 三 兩 五 銖 。 欲 其 貴 賤 兩 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 一 石 一 鈞 一 十 七 斤 一 十 四 兩 一 銖 , 兩 四 錢 。
              其 一 鈞 一 十 斤 五 兩 四 銖 , 兩 五 錢 。
          其 率

            術 曰 : 各 置 所 買 石 、 鈞 、 斤 、 兩 以 為 法 , 以 所 率 乘 錢 數 為 實 , 實 如 法 而 一 。 不 滿 法 者 反 以 實 減 法 , 法 賤 實 貴 。

〔 四 四 〕 今 有 出 錢 一 萬 三 千 九 百 七 十 , 買 絲 一 石 二 鈞 二 十 八 斤 三 兩 五 銖 。 欲 其 貴 賤 銖 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 一 鈞 二 十 斤 六 兩 十 一 銖 , 五 銖 一 錢 。
              其 一 石 一 鈞 七 斤 一 十 二 兩 一 十 八 銖 , 六 銖 一 錢 。

〔 四 五 〕 今 有 出 錢 六 百 一 十 , 買 羽 二 千 一 百 翭 。 欲 其 貴 賤 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 一 千 一 百 四 十 翭 , 三 翭 一 錢 。
              其 九 百 六 十 翭 , 四 翭 一 錢 。

〔 四 六 〕 今 有 出 錢 九 百 八 十 , 買 矢 簳 五 千 八 百 二 十 枚 。 欲 其 貴 賤 率 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              其 三 百 枚 , 五 枚 一 錢 。
              其 五 千 五 百 二 十 枚 , 六 枚 一 錢 。

            反 其 率 術 曰 : 以 錢 數 為 法 , 所 率 為 實 , 實 如 法 而 一 。 不 滿 法 者 反 以 實 減 法 , 法 少 , 實 多 。 二 物 各 以 所 得 多 少 之 數 乘 法 實 , 即 物 數 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 三

    衰 分

        衰 分 術 曰 : 各 置 列 衰 , 副 并 為 法 , 以 所 分 乘 未 并 者 各 自 為 實 , 實 如 法 而 一 。 不 滿 法 者 , 以 法 命 之 。

〔 一 〕 今 有 大 夫 、 不 更 、 簪 裹 、 上 造 、 公 士 , 凡 五 人 , 共 獵 得 五 鹿 。 欲 以 爵 次 分 之 , 問 各 得 幾 何 ?

              荅 曰 :
              大 夫 得 一 鹿 、 三 分 鹿 之 二 。
              不 更 得 一 鹿 、 三 分 鹿 之 一 。
              簪 裹 得 一 鹿 。
              上 造 得 三 分 鹿 之 二 。
              公 士 得 三 分 鹿 之 一 。

          術 曰 : 列 置 爵 數 , 各 自 為 衰 , 副 并 為 法 。 以 五 鹿 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 鹿 。

〔 二 〕 今 有 牛 、 馬 、 羊 食 人 苗 。 苗 主 責 之 粟 五 斗 。 羊 主 曰 : 「 我 羊 食 半 馬 。 」 馬 主 曰 : 「 我 馬 食 半 牛 。 」 今 欲 衰 償 之 , 問 各 出 幾 何 ?

              荅 曰 :
              牛 主 出 二 斗 八 升 、 七 分 升 之 四 。
              馬 主 出 一 斗 四 升 、 七 分 升 之 二 。
              羊 主 出 七 升 、 七 分 升 之 一 。

          術 曰 : 置 牛 四 、 馬 二 、 羊 一 , 各 自 為 列 衰 , 副 并 為 法 。 以 五 斗 乘 未 并 者 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 斗 。

〔 三 〕 今 有 甲 持 錢 五 百 六 十 , 乙 持 錢 三 百 五 十 , 丙 持 錢 一 百 八 十 , 凡 三 人 俱 出 關 , 關 稅 百 錢 。 欲 以 錢 數 多 少 衰 出 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 出 五 十 一 錢 、 一 百 九 分 錢 之 四 十 一 。
              乙 出 三 十 二 錢 、 一 百 九 分 錢 之 一 十 二 。
              丙 出 一 十 六 錢 、 一 百 九 分 錢 之 五 十 六 。

          術 曰 : 各 置 錢 數 為 列 衰 , 副 并 為 法 , 以 百 錢 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 , 實 如 法 得 一 錢 。

〔 四 〕 今 有 女 子 善 織 , 日 自 倍 , 五 日 織 五 尺 。 問 日 織 幾 何 ?

              荅 曰 :
              初 日 織 一 寸 、 三 十 一 分 寸 之 十 九 。
              次 日 織 三 寸 、 三 十 一 分 寸 之 七 。
              次 日 織 六 寸 、 三 十 一 分 寸 之 十 四 。
              次 日 織 一 尺 二 寸 、 三 十 一 分 寸 之 二 十 八 。
              次 日 織 二 尺 五 寸 、 三 十 一 分 寸 之 二 十 五 。

          術 曰 : 置 一 、 二 、 四 、 八 、 十 六 為 列 衰 , 副 并 為 法 , 以 五 尺 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 , 實 如 法 得 一 尺 。

〔 五 〕 今 有 北 鄉 算 八 千 七 百 五 十 八 , 西 鄉 算 七 千 二 百 三 十 六 , 南 鄉 算 八 千 三 百 五 十 六 , 凡 三 鄉 , 發 傜 三 百 七 十 八 人 。 欲 以 算 數 多 少 衰 出 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              北 鄉 遣 一 百 三 十 五 人 、 一 萬 二 千 一 百 七 十 五 分 人 之 一 萬 一 千 六 百 三 十 七 。
              西 鄉 遣 一 百 一 十 二 人 、 一 萬 二 千 一 百 七 十 五 分 人 之 四 千 四 。
              南 鄉 遣 一 百 二 十 九 人 、 一 萬 二 千 一 百 七 十 五 分 人 之 八 千 七 百 九 。

          術 曰 : 各 置 算 數 為 列 衰 , 副 并 為 法 , 以 所 發 傜 人 數 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 , 實 如 法 得 一 人 。

〔 六 〕 今 有 稟 粟 , 大 夫 、 不 更 、 簪 裹 、 上 造 、 公 士 , 凡 五 人 , 一 十 五 斗 。 今 有 大 夫 一 人 後 來 , 亦 當 稟 五 斗 。 倉 無 粟 , 欲 以 衰 出 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              大 夫 出 一 斗 、 四 分 斗 之 一 。
              不 更 出 一 斗 。
              簪 褭 出 四 分 斗 之 三 。
              上 造 出 四 分 斗 之 二 。
              公 士 出 四 分 斗 之 一 。

          術 曰 : 各 置 所 稟 粟 斛 斗 數 , 爵 次 均 之 , 以 為 列 衰 , 副 并 而 加 後 來 大 夫 亦 五 斗 , 得 二 十 以 為 法 。 以 五 斗 乘 未 并 者 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 斗 。

〔 七 〕 今 有 稟 粟 五 斛 , 五 人 分 之 , 欲 令 三 人 得 三 , 二 人 得 二 。 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              三 人 , 人 得 一 斛 一 斗 五 升 、 十 三 分 升 之 五 。
              二 人 , 人 得 七 斗 六 升 、 十 三 分 升 之 十 二 。

          術 曰 : 置 三 人 , 人 三 ; 二 人 , 人 二 , 為 列 衰 。 副 并 為 法 。 以 五 斛 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 斛 。

          返 衰 術 曰 : 列 置 衰 而 令 相 乘 , 動 者 為 不 動 者 衰 。

〔 八 〕 今 有 大 夫 、 不 更 、 簪 褭 、 上 造 、 公 士 , 凡 五 人 , 共 出 百 錢 。 欲 令 高 爵 出 少 , 以 次 漸 多 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              大 夫 出 八 錢 、 一 百 三 十 七 分 錢 之 一 百 四 。
              不 更 出 一 十 錢 、 一 百 三 十 七 分 錢 之 一 百 三 十 。
              簪 褭 出 一 十 四 錢 、 一 百 三 十 七 分 錢 之 八 十 二 。
              上 造 出 二 十 一 錢 、 一 百 三 十 七 分 錢 之 一 百 二 十 三 。
              公 士 出 四 十 三 錢 、 一 百 三 十 七 分 錢 之 一 百 九 。

          術 曰 : 置 爵 數 各 自 為 衰 , 而 返 衰 之 , 副 并 為 法 。 以 百 錢 乘 未 并 者 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 錢 。

〔 九 〕 今 有 甲 持 粟 三 升 , 乙 持 糲 米 三 升 , 丙 持 糲 飯 三 升 。 欲 令 合 而 分 之 , 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 二 升 、 一 十 分 升 之 七 。
              乙 四 升 、 一 十 分 升 之 五 。
              丙 一 升 、 一 十 分 升 之 八 。

          術 曰 : 以 粟 率 五 十 、 糲 米 率 三 十 、 糲 飯 率 七 十 五 為 衰 、 而 返 衰 之 , 副 并 為 法 。 以 九 升 乘 未 并 者 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 升 。

〔 一 0 〕 今 有 絲 一 斤 , 價 直 二 百 四 十 。 今 有 錢 一 千 三 百 二 十 八 , 問 得 絲 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 斤 八 兩 一 十 二 銖 、 三 分 銖 之 四 。

          術 曰 : 以 一 斤 價 數 為 法 , 以 一 斤 乘 今 有 錢 數 為 實 , 實 如 法 得 絲 數 。

〔 一 一 〕 今 有 絲 一 斤 價 直 三 百 四 十 三 。 今 有 絲 七 兩 一 十 二 銖 , 問 得 錢 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 六 十 一 錢 、 三 十 二 分 錢 之 二 十 三 。

          術 曰 : 以 一 斤 銖 數 為 法 , 以 一 斤 價 數 , 乘 七 兩 一 十 二 銖 為 實 。 實 如 法 得 錢 數 。

〔 一 二 〕 今 有 縑 一 丈 價 直 一 百 二 十 六 。 今 有 縑 一 匹 九 尺 五 寸 , 問 得 錢 幾 何 ?

              荅 曰 : 六 百 三 十 三 錢 、 五 分 錢 之 三 。

          術 曰 : 以 一 丈 寸 數 為 法 , 以 價 錢 數 乘 今 有 縑 寸 數 為 實 , 實 如 法 得 錢 數 。

〔 一 三 〕 今 有 布 一 匹 , 價 直 一 百 二 十 三 。 今 有 布 二 丈 七 尺 , 問 得 錢 幾 何 ?

              荅 曰 : 八 十 四 錢 、 分 錢 之 三 。

          術 曰 : 以 一 匹 尺 數 為 法 , 今 有 布 尺 數 乘 價 錢 為 實 , 實 如 法 得 錢 數 。

〔 一 四 〕 今 有 素 一 匹 一 丈 , 價 直 六 百 二 十 五 。 今 有 錢 五 百 , 問 得 素 幾 何 ?

              荅 曰 :

          術 曰 : 以 價 直 為 法 , 以 一 匹 一 丈 尺 數 乘 今 有 錢 數 為 實 。 實 如 法 得 素 數 。

〔 一 五 〕 今 有 與 人 絲 一 十 四 斤 , 約 得 縑 一 十 斤 。 今 與 人 絲 四 十 五 斤 八 兩 , 問 得 縑 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 十 二 斤 八 兩 。

          術 曰 : 以 一 十 四 斤 兩 數 為 法 , 以 一 十 斤 乘 今 有 絲 兩 數 為 實 , 實 如 法 得 縑 數 。

〔 一 六 〕 今 有 絲 一 斤 , 耗 七 兩 。 今 有 絲 二 十 三 斤 五 兩 , 問 耗 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 六 十 三 兩 四 銖 半 。

          術 曰 : 以 一 斤 展 十 六 兩 為 法 , 以 七 兩 乘 今 有 絲 兩 數 為 實 , 實 如 法 得 耗 數 。

〔 一 七 〕 今 有 生 絲 三 十 斤 , 乾 之 , 耗 三 斤 十 二 兩 。 今 有 乾 絲 一 十 二 斤 , 問 生 絲 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 十 三 斤 一 十 一 兩 十 銖 、 七 分 銖 之 二 。

          術 曰 : 置 生 絲 兩 數 , 除 耗 數 , 餘 , 以 為 法 。 三 十 斤 乘 乾 絲 兩 數 為 實 。 實 如 法 得 生 絲 數 。

〔 一 八 〕 今 有 田 一 畝 , 收 粟 六 升 、 太 半 升 。 今 有 田 一 頃 二 十 六 畝 一 百 五 十 九 步 , 問 收 粟 幾 何 ?

              荅 曰 : 八 斛 四 斗 四 升 、 一 十 二 分 升 之 五 。

          術 曰 : 以 畝 二 百 四 十 步 為 法 , 以 六 升 、 太 半 升 乘 今 有 田 積 步 為 實 , 實 如 法 得 粟 數 。

〔 一 九 〕 今 有 取 保 一 歲 , 價 錢 二 千 五 百 。 今 先 取 一 千 二 百 , 問 當 作 日 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 六 十 九 日 、 二 十 五 分 日 之 二 十 三 。

          術 曰 : 以 價 錢 為 法 , 以 一 歲 三 百 五 十 四 日 乘 先 取 錢 數 為 實 , 實 如 法 得 日 數 。

〔 二 0 〕 今 有 貸 人 千 錢 , 月 息 三 十 。 今 有 貸 人 七 百 五 十 錢 , 九 日 歸 之 , 問 息 幾 何 ?

              荅 曰 : 六 錢 、 四 分 錢 之 三 。

          術 曰 : 以 月 三 十 日 , 乘 千 錢 為 法 。 以 息 三 十 乘 今 所 貸 錢 數 , 又 以 九 日 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 一 錢 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 四

    少 廣

        少 廣 術 曰 : 置 全 步 及 分 母 子 , 以 最 下 分 母 遍 乘 諸 分 子 及 全 步 , 各 以 其 母 除 其 子 , 置 之 於 左 。 命 通 分 者 , 又 以 分 母 遍 乘 諸 分 子 , 及 已 通 者 皆 通 而 同 之 , 并 之 為 法 。 置 所 求 步 數 , 以 全 步 積 分 乘 之 為 實 。 實 如 法 而 一 , 得 從 步 。

〔 一 〕 今 有 田 廣 一 步 半 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 六 十 步 。

          術 曰 : 下 有 半 , 是 二 分 之 一 。 以 一 為 二 , 半 為 一 , 并 之 得 三 , 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 二 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 二 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 三 十 步 、 一 十 一 分 步 之 一 十 。

          術 曰 : 下 有 三 分 , 以 一 為 六 , 半 為 三 , 三 分 之 一 為 二 , 并 之 得 一 十 一 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 六 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 三 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 一 十 五 步 、 五 分 步 之 一 。

          術 曰 : 下 有 四 分 , 以 一 為 一 十 二 , 半 為 六 , 三 分 之 一 為 四 , 四 分 之 一 為 三 , 并 之 得 二 十 五 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 一 十 二 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 而 一 , 得 從 步 。

〔 四 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 五 步 、 一 百 三 十 七 分 步 之 一 十 五 。

          術 曰 : 下 有 五 分 , 以 一 為 六 十 , 半 為 三 十 , 三 分 之 一 為 二 十 , 四 分 之 一 為 一 十 五 , 五 分 之 一 為 一 十 二 , 并 之 得 一 百 三 十 七 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 六 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 五 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 、 六 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 九 十 七 步 、 四 十 九 分 步 之 四 十 七 。

          術 曰 : 下 有 六 分 , 以 一 為 一 百 二 十 , 半 為 六 十 , 三 分 之 一 為 四 十 , 四 分 之 一 為 三 十 , 五 分 之 一 為 二 十 四 , 六 分 之 一 為 二 十 , 并 之 得 二 百 九 十 四 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 一 百 二 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 六 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 、 六 分 步 之 一 、 七 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 九 十 二 步 、 一 百 二 十 一 分 步 之 六 十 八 。

          術 曰 : 下 有 七 分 , 以 一 為 四 百 二 十 , 半 為 二 百 一 十 , 三 分 之 一 為 一 百 四 十 , 四 分 之 一 為 一 百 五 , 五 分 之 一 為 八 十 四 , 六 分 之 一 為 七 十 , 七 分 之 一 為 六 十 , 并 之 得 一 千 八 十 九 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 四 百 二 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 七 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 、 六 分 步 之 一 、 七 分 步 之 一 、 八 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 八 十 八 步 、 七 百 六 十 一 分 步 之 二 百 三 十 二 。

          術 曰 : 下 有 八 分 , 以 一 為 八 百 四 十 , 半 為 四 百 二 十 , 三 分 之 一 為 二 百 八 十 , 四 分 之 一 為 二 百 一 十 , 五 分 之 一 為 一 百 六 十 八 , 六 分 之 一 為 一 百 四 十 , 七 分 之 一 為 一 百 二 十 , 八 分 之 一 為 一 百 五 , 并 之 得 二 千 二 百 八 十 三 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 八 百 四 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 八 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 、 六 分 步 之 一 、 七 分 步 之 一 、 八 分 步 之 一 、 九 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 八 十 四 步 、 七 千 一 百 二 十 九 分 步 之 五 千 九 百 六 十 四 。

          術 曰 : 下 有 九 分 , 以 一 為 二 千 五 百 二 十 , 半 為 一 千 二 百 六 十 , 三 分 之 一 為 八 百 四 十 , 四 分 之 一 為 六 百 三 十 , 五 分 之 一 為 五 百 四 , 六 分 之 一 為 四 百 二 十 , 七 分 之 一 為 三 百 六 十 , 八 分 之 一 為 三 百 一 十 五 , 九 分 之 一 為 二 百 八 十 , 并 之 得 七 千 一 百 二 十 九 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 二 千 五 百 二 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 九 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 、 六 分 步 之 一 、 七 分 步 之 一 、 八 分 步 之 一 、 九 分 步 之 一 、 十 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 八 十 一 步 、 七 千 三 百 八 十 一 分 步 之 六 千 九 百 三 十 九 。

          術 曰 : 下 有 一 十 分 , 以 一 為 二 千 五 百 二 十 , 半 為 一 千 二 百 六 十 , 三 分 之 一 為 八 百 四 十 , 四 分 之 一 為 六 百 三 十 , 五 分 之 一 為 五 百 四 , 六 分 之 一 為 四 百 二 十 , 七 分 之 一 為 三 百 六 十 , 八 分 之 一 為 三 百 一 十 五 , 九 分 之 一 為 二 百 八 十 , 十 分 之 一 為 二 百 五 十 二 , 并 之 得 七 千 三 百 八 十 一 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 二 千 五 百 二 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 一 0 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 、 六 分 步 之 一 、 七 分 步 之 一 、 八 分 步 之 一 、 九 分 步 之 一 、 十 分 步 之 一 、 十 一 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 十 九 步 、 八 萬 三 千 七 百 一 十 一 分 步 之 三 萬 九 千 六 百 三 十 一 。

          術 曰 : 下 有 一 十 一 分 , 以 一 為 二 萬 七 千 七 百 二 十 , 半 為 一 萬 三 千 八 百 六 十 , 三 分 之 一 為 九 千 二 百 四 十 , 四 分 之 一 為 六 千 九 百 三 十 , 五 分 之 一 為 五 千 五 百 四 十 四 , 六 分 之 一 為 四 千 六 百 二 十 , 七 分 之 一 為 三 千 九 百 六 十 , 八 分 之 一 為 三 千 四 百 六 十 五 , 九 分 之 一 為 三 千 八 十 , 一 十 分 之 一 為 二 千 七 百 七 十 二 , 一 十 一 分 之 一 為 二 千 五 百 二 十 , 并 之 得 八 萬 三 千 七 百 一 十 一 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 二 萬 七 千 七 百 二 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 一 一 〕 今 有 田 廣 一 步 半 、 三 分 步 之 一 、 四 分 步 之 一 、 五 分 步 之 一 、 六 分 步 之 一 、 七 分 步 之 一 、 八 分 步 之 一 、 九 分 步 之 一 、 十 分 步 之 一 、 十 一 分 步 之 一 、 十 二 分 步 之 一 。 求 田 一 畝 , 問 從 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 十 七 步 、 八 萬 六 千 二 十 一 分 步 之 二 萬 九 千 一 百 八 十 三 。

          術 曰 : 下 有 一 十 二 分 , 以 一 為 八 萬 三 千 一 百 六 十 , 半 為 四 萬 一 千 五 百 八 十 , 三 分 之 一 為 二 萬 七 千 七 百 二 十 , 四 分 之 一 為 二 萬 七 百 九 十 , 五 分 之 一 為 一 萬 六 千 六 百 三 十 二 , 六 分 之 一 為 一 萬 三 千 八 百 六 十 , 七 分 之 一 為 一 萬 一 千 八 百 八 十 , 八 分 之 一 為 一 萬 三 百 九 十 五 , 九 分 之 一 為 九 千 二 百 四 十 , 一 十 分 之 一 為 八 千 三 百 一 十 六 , 十 一 分 之 一 為 七 千 五 百 六 十 , 十 二 分 之 一 為 六 千 九 百 三 十 , 并 之 得 二 十 五 萬 八 千 六 十 三 , 以 為 法 。 置 田 二 百 四 十 步 , 亦 以 一 為 八 萬 三 千 一 百 六 十 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 從 步 。

〔 一 二 〕 今 有 積 五 萬 五 千 二 百 二 十 五 步 。 問 為 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 百 三 十 五 步 。

〔 一 三 〕 又 有 積 二 萬 五 千 二 百 八 十 一 步 。 問 為 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 五 十 九 步 。

〔 一 四 〕 又 有 積 七 萬 一 千 八 百 二 十 四 步 。 問 為 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 百 六 十 八 步 。

〔 一 五 〕 又 有 積 五 十 六 萬 四 千 七 百 五 十 二 步 、 四 分 步 之 一 。 問 為 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 百 五 十 一 步 半 。

〔 一 六 〕 又 有 積 三 十 九 億 七 千 二 百 一 十 五 萬 六 百 二 十 五 步 。 問 為 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 六 萬 三 千 二 十 五 步 。

          開 方 術 曰 : 置 積 為 實 。 借 一 算 步 之 , 超 一 等 。 議 所 得 , 以 一 乘 所 借 一 算 為 法 , 而 以 除 。 除 已 , 倍 法 為 定 法 。 其 復 除 。 折 法 而 下 。 復 置 借 算 步 之 如 初 , 以 復 議 一 乘 之 , 所 得 副 , 以 加 定 法 , 以 除 。 以 所 得 副 從 定 法 。 復 除 折 下 如 前 。 若 開 之 不 盡 者 為 不 可 開 , 當 以 面 命 之 。 若 實 有 分 者 , 通 分 內 子 為 定 實 。 乃 開 之 , 訖 , 開 其 母 報 除 。 若 母 不 可 開 者 , 又 以 母 乘 定 實 , 乃 開 之 , 訖 , 令 如 母 而 一 。

〔 一 七 〕 今 有 積 一 千 五 百 一 十 八 步 、 四 分 步 之 三 。 問 為 圓 周 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 三 十 五 步 。

〔 一 八 〕 今 有 積 三 百 步 。 問 為 圓 周 幾 何 ?

              荅 曰 : 六 十 步 。

          開 圓 術 曰 : 置 積 步 數 , 以 十 二 乘 之 , 以 開 方 除 之 , 即 得 周 。

〔 一 九 〕 今 有 積 一 百 八 十 六 萬 八 百 六 十 七 尺 。 問 為 立 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 二 十 三 尺 。

〔 二 0 〕 今 有 積 一 千 九 百 五 十 三 尺 、 八 分 尺 之 一 。 問 為 立 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 十 二 尺 半 。

〔 二 一 〕 今 有 積 六 萬 三 千 四 百 一 尺 、 五 百 一 十 二 分 尺 之 四 百 四 十 七 。 問 為 立 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 十 九 尺 、 八 分 尺 之 七 。

〔 二 二 〕 又 有 積 一 百 九 十 三 萬 七 千 五 百 四 十 一 尺 、 二 十 七 分 尺 之 一 十 七 。 問 為 立 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 二 十 四 尺 、 太 半 尺 。

          開 立 方 術 曰 : 置 積 為 實 。 借 一 算 步 之 , 超 二 等 。 議 所 得 , 以 再 乘 所 借 一 算 為 法 , 而 除 之 。 除 已 , 三 之 為 定 法 。 復 除 , 折 而 下 。 以 三 乘 所 得 數 置 中 行 。 復 借 一 算 置 下 行 。 步 之 , 中 超 一 , 下 超 二 等 。 復 置 議 , 以 一 乘 中 , 再 乘 下 , 皆 副 以 加 定 法 。 以 定 法 除 。 除 已 , 倍 下 、 并 中 從 定 法 。 復 除 , 折 下 如 前 。 開 之 不 盡 者 , 亦 為 不 可 開 。 若 積 有 分 者 , 通 分 內 子 為 定 實 。 定 實 乃 開 之 , 訖 , 開 其 母 以 報 除 。 若 母 不 可 開 者 , 又 以 母 再 乘 定 實 , 乃 開 之 。 訖 , 令 如 母 而 一 。

〔 二 三 〕 今 有 積 四 千 五 百 尺 。 問 為 立 圓 徑 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 尺 。

〔 二 四 〕 又 有 積 一 萬 六 千 四 百 四 十 八 億 六 千 六 百 四 十 三 萬 七 千 五 百 尺 。 問 為 立 圓 徑 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 萬 四 千 三 百 尺 。

          開 立 圓 術 曰 : 置 積 尺 數 , 以 十 六 乘 之 , 九 而 一 , 所 得 開 立 方 除 之 , 即 丸 徑 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 五

    商 功

〔 一 〕 今 有 穿 地 積 一 萬 尺 。 問 為 堅 、 壤 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              為 堅 七 千 五 百 尺 。
              為 壤 一 萬 二 千 五 百 尺 。

          術 曰 : 穿 地 四 , 為 壤 五 , 為 堅 三 , 為 墟 四 。 以 穿 地 求 壤 , 五 之 ; 求 堅 , 三 之 , 皆 四 而 一 。 以 壤 求 穿 , 四 之 ; 求 堅 , 三 之 , 皆 五 而 一 。 以 堅 求 穿 , 四 之 ; 求 壤 , 五 之 , 皆 三 而 一 。

          城 、 垣 、 隄 、 溝 、 、 渠 , 皆 同 術 。

          術 曰 : 并 上 下 廣 而 半 之 , 以 高 若 深 乘 之 , 又 以 袤 乘 之 , 即 積 尺 。

〔 二 〕 今 有 城 下 廣 四 丈 , 上 廣 二 丈 , 高 五 丈 , 袤 一 百 二 十 六 丈 五 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 八 十 九 萬 七 千 五 百 尺 。

〔 三 〕 今 有 垣 下 廣 三 尺 , 上 廣 二 尺 , 高 一 丈 二 尺 , 袤 二 十 二 丈 五 尺 八 寸 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 六 千 七 百 七 十 四 尺 。

〔 四 〕 今 有 隄 下 廣 二 丈 , 上 廣 八 尺 , 高 四 尺 , 袤 一 十 二 丈 七 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 千 一 百 一 十 二 尺 。

      冬 程 人 功 四 百 四 十 四 尺 。 問 用 徒 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 十 六 人 、 一 百 一 十 一 分 人 之 二 。

          術 曰 : 以 積 尺 為 實 , 程 功 尺 數 為 法 , 實 如 法 而 一 , 即 用 徒 人 數 。

〔 五 〕 今 有 溝 上 廣 一 丈 五 尺 , 下 廣 一 丈 , 深 五 尺 , 袤 七 丈 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 千 三 百 七 十 五 尺 。

      春 程 人 功 七 百 六 十 六 尺 , 并 出 土 功 五 分 之 一 , 定 功 六 百 一 十 二 尺 、 五 分 尺 之 四 。 問 用 徒 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 人 、 三 千 六 十 四 分 人 之 四 百 二 十 七 。

          術 曰 : 置 本 人 功 , 去 其 五 分 之 一 , 餘 為 法 。 以 溝 積 尺 為 實 。 實 如 法 而 一 , 得 用 徒 人 數 。

〔 六 〕 今 有 塹 上 廣 一 丈 六 尺 三 寸 , 下 廣 一 丈 , 深 六 尺 三 寸 , 袤 一 十 三 丈 二 尺 一 寸 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 萬 九 百 四 十 三 尺 八 寸 。

      夏 程 人 功 八 百 七 十 一 尺 。 并 出 土 功 五 分 之 一 , 沙 礫 水 石 之 功 作 太 半 , 定 功 二 百 三 十 二 尺 、 一 十 五 分 尺 之 四 。 問 用 徒 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 十 七 人 、 三 千 四 百 八 十 四 分 人 之 四 百 九 。

          術 曰 : 置 本 人 功 , 去 其 出 土 功 五 分 之 一 , 又 去 沙 礫 水 石 之 功 太 半 , 餘 為 法 。 以 塹 積 尺 為 實 。 實 如 法 而 一 , 即 用 徒 人 數 。

〔 七 〕 今 有 穿 渠 上 廣 一 丈 八 尺 , 下 廣 三 尺 六 寸 , 深 一 丈 八 尺 , 袤 五 萬 一 千 八 百 二 十 四 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 千 七 萬 四 千 五 百 八 十 五 尺 六 寸 。

      秋 程 人 功 三 百 尺 , 問 用 徒 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 萬 三 千 五 百 八 十 二 人 功 。 內 少 一 十 四 尺 四 寸 。

      一 千 人 先 到 , 問 當 受 袤 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 五 十 四 丈 三 尺 二 寸 、 八 十 一 分 寸 之 八 。

          術 曰 : 以 一 人 功 尺 數 , 乘 先 到 人 數 為 實 。 并 渠 上 下 廣 而 半 之 , 以 深 乘 之 為 法 。 實 如 法 得 袤 尺 。

〔 八 〕 今 有 方 堡 壔 方 一 丈 六 尺 , 高 一 丈 五 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 千 八 百 四 十 尺 。

          術 曰 : 方 自 乘 , 以 高 乘 之 , 即 積 尺 。

〔 九 〕 今 有 圓 堡 壔 , 周 四 丈 八 尺 , 高 一 丈 一 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 千 一 百 一 十 二 尺 。

          術 曰 : 周 自 相 乘 , 以 高 乘 之 , 十 二 而 一 。

〔 一 0 〕 今 有 方 亭 , 下 方 五 丈 , 上 方 四 丈 , 高 五 丈 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 十 萬 一 千 六 百 六 十 六 尺 、 太 半 尺 。

          術 曰 : 上 下 方 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 之 , 以 高 乘 之 , 三 而 一 。

〔 一 一 〕 今 有 圓 亭 , 下 周 三 丈 , 上 周 二 丈 , 高 一 丈 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 百 二 十 七 尺 、 九 分 尺 之 七 。

          術 曰 : 上 、 下 周 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 之 , 以 高 乘 之 , 三 十 六 而 一 。

〔 一 二 〕 今 有 方 錐 下 方 二 丈 七 尺 , 高 二 丈 九 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 千 四 十 七 尺 。

          術 曰 : 下 方 自 乘 , 以 高 乘 之 , 三 而 一 。

〔 一 三 〕 今 有 圓 錐 下 周 三 丈 五 尺 , 高 五 丈 一 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 千 七 百 三 十 五 尺 、 一 十 二 分 尺 之 五 。

          術 曰 : 下 周 自 乘 , 以 高 乘 之 , 三 十 六 而 一 。

〔 一 四 〕 今 有 塹 堵 下 廣 二 丈 , 袤 一 十 八 丈 六 尺 , 高 二 丈 五 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 萬 六 千 五 百 尺 。

          術 曰 : 廣 袤 相 乘 , 以 高 乘 之 , 二 而 一 。

〔 一 五 〕 今 有 陽 馬 , 廣 五 尺 , 袤 七 尺 , 高 八 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 九 十 三 尺 、 少 半 尺 。

          術 曰 : 廣 袤 相 乘 , 以 高 乘 之 , 三 而 一 。

〔 一 六 〕 今 有 鱉 臑 下 廣 五 尺 , 無 袤 , 上 袤 四 尺 , 無 廣 , 高 七 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 三 尺 、 少 半 尺 。

          術 曰 : 廣 袤 相 乘 , 以 高 乘 之 , 六 而 一 。

〔 一 七 〕 今 有 羨 除 , 下 廣 六 尺 , 上 廣 一 丈 , 深 三 尺 , 末 廣 八 尺 , 無 深 , 袤 七 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 八 十 四 尺 。

          術 曰 : 并 三 廣 , 以 深 乘 之 , 又 以 袤 乘 之 , 六 而 一 。

〔 一 八 〕 今 有 芻 甍 , 下 廣 三 丈 , 袤 四 丈 , 上 袤 二 丈 , 無 廣 , 高 一 丈 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 千 尺 。

          術 曰 : 倍 下 袤 , 上 袤 從 之 , 以 廣 乘 之 , 又 以 高 乘 之 , 六 而 一 。

          芻 童 、 曲 池 、 盤 池 、 冥 谷 , 皆 同 術 。

          術 曰 : 倍 上 袤 , 下 袤 從 之 , 亦 倍 下 袤 , 上 袤 從 之 , 各 以 其 廣 乘 之 , 并 , 以 高 若 深 乘 之 , 皆 六 而 一 。 其 曲 池 者 , 并 上 中 、 外 周 而 半 之 , 以 為 上 袤 ; 亦 并 下 中 、 外 周 而 半 之 , 以 為 下 袤 。

〔 一 九 〕 今 有 芻 童 , 下 廣 二 丈 , 袤 三 丈 , 上 廣 三 丈 , 袤 四 丈 , 高 三 丈 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 萬 六 千 五 百 尺 。

〔 二 0 〕 今 有 曲 池 , 上 中 周 二 丈 , 外 周 四 丈 , 廣 一 丈 , 下 中 周 一 丈 四 尺 , 外 周 二 丈 四 尺 , 廣 五 尺 , 深 一 丈 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 千 八 百 八 十 三 尺 三 寸 、 少 半 寸 。

〔 二 一 〕 今 有 盤 池 , 上 廣 六 丈 , 袤 八 丈 , 下 廣 四 丈 , 袤 六 丈 , 深 二 丈 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 萬 六 百 六 十 六 尺 、 太 半 尺 。

    負 土 往 來 七 十 步 , 其 二 十 步 上 下 棚 除 。 棚 除 二 當 平 道 五 , 踟 躕 之 間 十 加 一 , 載 輸 之 間 三 十 步 , 定 一 返 一 百 四 十 步 。 土 籠 積 一 尺 六 寸 , 秋 程 人 功 行 五 十 九 里 半 。 問 人 到 、 積 尺 、 用 徒 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              人 到 二 百 四 尺 。
              用 徒 三 百 四 十 六 人 、 一 百 五 十 三 分 人 之 六 十 二 。

          術 曰 : 以 一 籠 積 尺 乘 程 行 步 數 為 實 。 往 來 上 下 , 棚 除 二 當 平 道 五 。 置 定 往 來 步 數 , 十 加 一 , 及 載 輸 之 間 三 十 步 以 為 法 。 除 之 , 所 得 即 一 人 所 到 尺 。 以 所 到 約 積 尺 , 即 用 徒 人 數 。

〔 二 二 〕 今 有 冥 谷 上 廣 二 丈 , 袤 七 丈 , 下 廣 八 尺 , 袤 四 丈 , 深 六 丈 五 尺 。 問 積 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 萬 二 千 尺 。

    載 土 往 來 二 百 步 , 載 輸 之 間 一 里 , 程 行 五 十 八 里 , 六 人 共 車 , 車 載 三 十 四 尺 七 寸 。 問 人 到 積 尺 及 用 徒 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              人 到 二 百 一 尺 、 五 十 分 尺 之 十 三 。
              用 徒 二 百 五 十 八 人 、 一 萬 六 十 三 分 人 之 三 千 七 百 四 十 六 。

          術 曰 : 以 一 車 積 尺 乘 程 行 步 數 為 實 。 置 今 往 來 步 數 , 加 載 輸 之 間 一 里 , 以 車 六 人 乘 之 , 為 法 。 除 之 , 所 得 即 一 人 所 到 尺 。 以 所 到 約 積 尺 , 即 用 徒 人 數 。

〔 二 三 〕 今 有 委 粟 平 地 , 下 周 一 十 二 丈 , 高 二 丈 。 問 積 及 為 粟 幾 何 ?

              荅 曰 :
              積 八 千 尺 。
              為 粟 二 千 九 百 六 十 二 斛 、 二 十 七 分 斛 之 二 十 六 。

〔 二 四 〕 今 有 委 菽 依 垣 , 下 周 三 丈 , 高 七 尺 。 問 積 及 為 菽 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              積 三 百 五 十 尺 。
              為 菽 一 百 四 十 四 斛 、 二 百 四 十 三 分 斛 之 八 。

〔 二 五 〕 今 有 委 米 依 垣 內 角 , 下 周 八 尺 , 高 五 尺 。 問 積 及 為 米 幾 何 ?

              荅 曰 :
              積 三 十 五 尺 、 九 分 尺 之 五 。
              為 米 二 十 一 斛 , 七 百 二 十 九 分 斛 之 六 百 九 十 一 。

          委 粟 術 曰 : 下 周 自 乘 , 以 高 乘 之 , 三 十 六 而 一 。 其 依 垣 者 , 十 八 而 一 。 其 依 垣 內 角 者 , 九 而 一 。

          程 粟 一 斛 , 積 二 尺 七 寸 。 其 米 一 斛 , 積 一 尺 六 寸 、 五 分 寸 之 一 。 其 菽 、 荅 、 麻 、 麥 一 斛 , 皆 二 尺 四 寸 、 十 分 寸 之 三 。

〔 二 六 〕 今 有 穿 地 , 袤 一 丈 六 尺 , 深 一 丈 , 上 廣 六 尺 , 為 垣 積 五 百 七 十 六 尺 。 問 穿 地 下 廣 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 尺 、 五 分 尺 之 三 。

          術 曰 : 置 垣 積 尺 , 四 之 為 實 。 以 深 、 袤 相 乘 , 又 三 之 , 為 法 。 所 得 倍 之 , 減 上 廣 , 餘 即 下 廣 。

〔 二 七 〕 今 有 倉 廣 三 丈 , 袤 四 丈 五 尺 , 容 粟 一 萬 斛 。 問 高 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 丈 。

          術 曰 : 置 粟 一 萬 斛 積 尺 為 實 。 廣 袤 相 乘 為 法 。 實 如 法 而 一 , 得 高 尺 。

〔 二 八 〕 今 有 圓 困 , 高 一 丈 三 尺 三 寸 、 少 半 寸 , 容 米 二 千 斛 。 問 周 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 丈 四 尺 。

          術 曰 : 置 米 積 尺 , 以 十 二 乘 之 , 令 高 而 一 , 所 得 , 開 方 除 之 , 即 周 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 六

    均 輸

〔 一 〕 今 有 均 輸 粟 : 甲 縣 一 萬 戶 , 行 道 八 日 ; 乙 縣 九 千 五 百 戶 , 行 道 十 日 ; 丙 縣 一 萬 二 千 三 百 五 十 戶 , 行 道 十 三 日 ; 丁 縣 一 萬 二 千 二 百 戶 , 行 道 二 十 日 , 各 到 輸 所 。 凡 四 縣 賦 , 當 輸 二 十 五 萬 斛 , 用 車 一 萬 乘 。 欲 以 道 里 遠 近 , 戶 數 多 少 , 衰 出 之 。 問 粟 、 車 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 縣 粟 八 萬 三 千 一 百 斛 , 車 三 千 三 百 二 十 四 乘 。
              乙 縣 粟 六 萬 三 千 一 百 七 十 五 斛 , 車 二 千 五 百 二 十 七 乘 。
              丙 縣 粟 六 萬 三 千 一 百 七 十 五 斛 , 車 二 千 五 百 二 十 七 乘 。
              丁 縣 粟 四 萬 五 百 五 十 斛 , 車 一 千 六 百 二 十 二 乘 。

          均 輸 術 曰 : 令 縣 戶 數 , 各 如 其 本 行 道 日 數 而 一 , 以 為 衰 。 甲 衰 一 百 二 十 五 , 乙 、 丙 衰 各 九 十 五 , 丁 衰 六 十 一 , 副 并 為 法 。 以 賦 粟 、 車 數 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 車 。 有 分 者 , 上 下 輩 之 。 以 二 十 五 斛 乘 車 數 , 即 粟 數 。

〔 二 〕 今 有 均 輸 卒 : 甲 縣 一 千 二 百 人 , 薄 塞 ; 乙 縣 一 千 五 百 五 十 人 , 行 道 一 日 ; 丙 縣 一 千 二 百 八 十 人 , 行 道 二 日 ; 丁 縣 九 百 九 十 人 , 行 道 三 日 ; 戊 縣 一 千 七 百 五 十 人 , 行 道 五 日 。 凡 五 縣 , 賦 輸 卒 一 月 一 千 二 百 人 。 欲 以 遠 近 、 戶 率 , 多 少 衰 出 之 。 問 縣 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 縣 二 百 二 十 九 人 。
              乙 縣 二 百 八 十 六 人 。
              丙 縣 二 百 二 十 八 人 。
              丁 縣 一 百 七 十 一 人 。
              戊 縣 二 百 八 十 六 人 。

          術 曰 : 令 縣 卒 , 各 如 其 居 所 及 行 道 日 數 而 一 , 以 為 衰 。 甲 衰 四 , 乙 衰 五 , 丙 衰 四 , 丁 衰 三 , 戊 衰 五 , 副 并 為 法 。 以 人 數 乘 未 并 者 各 自 為 實 。 實 如 法 而 一 。 有 分 者 , 上 下 輩 之 。

〔 三 〕 今 有 均 賦 粟 : 甲 縣 二 萬 五 百 二 十 戶 , 粟 一 斛 二 十 錢 , 自 輸 其 縣 ; 乙 縣 一 萬 二 千 三 百 一 十 二 戶 , 粟 一 斛 一 十 錢 , 至 輸 所 二 百 里 ; 丙 縣 七 千 一 百 八 十 二 戶 , 粟 一 斛 一 十 二 錢 , 至 輸 所 一 百 五 十 里 ; 丁 縣 一 萬 三 千 三 百 三 十 八 戶 , 粟 一 斛 一 十 七 錢 , 至 輸 所 二 百 五 十 里 ; 戊 縣 五 千 一 百 三 十 戶 , 粟 一 斛 一 十 三 錢 , 至 輸 所 一 百 五 十 里 。 凡 五 縣 賦 , 輸 粟 一 萬 斛 。 一 車 載 二 十 五 斛 , 與 僦 一 里 一 錢 。 欲 以 縣 戶 輸 粟 , 令 費 勞 等 。 問 縣 各 粟 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 縣 三 千 五 百 七 十 一 斛 、 二 千 八 百 七 十 三 分 斛 之 五 百 一 十 七 。
              乙 縣 二 千 三 百 八 十 斛 、 二 千 八 百 七 十 三 分 斛 之 二 千 二 百 六 十 。
              丙 縣 一 千 三 百 八 十 八 斛 、 二 千 八 百 七 十 三 分 斛 之 二 千 二 百 七 十 六 。
              丁 縣 一 千 七 百 一 十 九 斛 、 二 千 八 百 七 十 三 分 斛 之 一 千 三 百 一 十 三 。
              戊 縣 九 百 三 十 九 斛 、 二 千 八 百 七 十 三 分 斛 之 二 千 二 百 五 十 三 。

          術 曰 : 以 一 里 僦 價 , 乘 至 輸 所 里 , 以 一 車 二 十 五 斛 除 之 , 加 一 斛 粟 價 , 則 致 一 斛 之 費 。 各 以 約 其 戶 數 , 為 衰 。 甲 衰 一 千 二 十 六 , 乙 衰 六 百 八 十 四 , 丙 衰 三 百 九 十 九 , 丁 衰 四 百 九 十 四 , 戊 衰 二 百 七 十 , 副 并 為 法 。 所 賦 粟 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 。

〔 四 〕 今 有 均 賦 粟 , 甲 縣 四 萬 二 千 算 , 粟 一 斛 二 十 , 自 輸 其 縣 ; 乙 縣 三 萬 四 千 二 百 七 十 二 算 , 粟 一 斛 一 十 八 , 傭 價 一 日 一 十 錢 , 到 輸 所 七 十 里 ; 丙 縣 一 萬 九 千 三 百 二 十 八 算 , 粟 一 斛 一 十 六 , 傭 價 一 日 五 錢 , 到 輸 所 一 百 四 十 里 ; 丁 縣 一 萬 七 千 七 百 算 , 粟 一 斛 一 十 四 , 傭 價 一 日 五 錢 , 到 輸 所 一 百 七 十 五 里 ; 戊 縣 二 萬 三 千 四 十 算 , 粟 一 斛 一 十 二 , 傭 價 一 日 五 錢 , 到 輸 所 二 百 一 十 里 ; 己 縣 一 萬 九 千 一 百 三 十 六 算 , 粟 一 斛 一 十 , 傭 價 一 日 五 錢 , 到 輸 所 二 百 八 十 里 。 凡 六 縣 賦 粟 六 萬 斛 , 皆 輸 甲 縣 。 六 人 共 車 , 車 載 二 十 五 斛 , 重 車 日 行 五 十 里 , 空 車 日 行 七 十 里 , 載 輸 之 間 各 一 日 。 粟 有 貴 賤 , 傭 各 別 價 , 以 算 出 錢 , 令 費 勞 等 。 問 縣 各 粟 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 縣 一 萬 八 千 九 百 四 十 七 斛 、 一 百 三 十 三 分 斛 之 四 十 九 。
              乙 縣 一 萬 八 百 二 十 七 斛 、 一 百 三 十 三 分 斛 之 九 。
              丙 縣 七 千 二 百 一 十 八 斛 、 一 百 三 十 三 分 斛 之 六 。
              丁 縣 六 千 七 百 六 十 六 斛 、 一 百 三 十 三 分 斛 之 一 百 二 十 二 。
              戊 縣 九 千 二 十 二 斛 、 一 百 三 十 三 分 斛 之 七 十 四 。
              己 縣 七 千 二 百 一 十 八 斛 、 一 百 三 十 三 分 斛 之 六 。

          術 曰 : 以 車 程 行 空 、 重 相 乘 為 法 , 并 空 、 重 以 乘 道 里 , 各 自 為 實 , 實 如 法 得 一 日 。 加 載 輸 各 一 日 , 而 以 六 人 乘 之 , 又 以 傭 價 乘 之 , 以 二 十 五 斛 除 之 , 加 一 斛 粟 價 , 即 致 一 斛 之 費 。 各 以 約 其 算 數 為 衰 , 副 并 為 法 , 以 所 賦 粟 乘 未 并 者 , 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 斛 。

〔 五 〕 今 有 粟 七 斗 , 三 人 分 舂 之 , 一 人 為 糲 米 , 一 人 為 粺 米 , 一 人 為 鑿 米 , 令 米 數 等 。 問 取 粟 為 米 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              糲 米 取 粟 二 斗 、 一 百 二 十 一 分 斗 之 一 十 。
              粺 米 取 粟 二 斗 、 一 百 二 十 一 分 斗 之 三 十 八 。
              鑿 米 取 粟 二 斗 、 一 百 二 十 一 分 斗 之 七 十 三 。
              為 米 各 一 斗 、 六 百 五 分 斗 之 一 百 五 十 一 。

          術 曰 : 列 置 糲 米 三 十 , 粺 米 二 十 七 , 鑿 米 二 十 四 , 而 反 衰 之 , 副 并 為 法 。 以 七 斗 乘 未 并 者 , 各 自 為 取 粟 實 。 實 如 法 得 一 斗 。 若 求 米 等 者 , 以 本 率 各 乘 定 所 取 粟 為 實 , 以 粟 率 五 十 為 法 , 實 如 法 得 一 斗 。

〔 六 〕 今 有 人 當 稟 粟 二 斛 。 倉 無 粟 , 欲 與 米 一 、 菽 二 , 以 當 所 稟 粟 。 問 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              米 五 斗 一 升 、 七 分 升 之 三 。
              菽 一 斛 二 升 、 七 分 升 之 六 。

          術 曰 : 置 米 一 、 菽 二 求 為 粟 之 數 。 并 之 得 三 、 九 分 之 八 , 以 為 法 。 亦 置 米 一 、 菽 二 , 而 以 粟 二 斛 乘 之 , 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 斛 。

〔 七 〕 今 有 取 傭 負 鹽 二 斛 , 行 一 百 里 , 與 錢 四 十 。 今 負 鹽 一 斛 七 斗 三 升 、 少 半 升 , 行 八 十 里 。 問 與 錢 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 七 錢 、 十 五 分 錢 之 十 一 。

          術 曰 : 置 鹽 二 斛 升 數 , 以 一 百 里 乘 之 為 法 。 以 四 十 錢 乘 今 負 鹽 升 數 , 又 以 八 十 里 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 一 錢 。

〔 八 〕 今 有 負 籠 重 一 石 一 十 七 斤 , 行 七 十 六 步 , 五 十 返 。 今 負 籠 重 一 石 , 行 百 步 , 問 返 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 十 三 返 、 六 十 分 返 之 二 十 三 。

          術 曰 : 以 今 所 行 步 數 乘 今 籠 重 斤 數 為 法 , 故 籠 重 斤 數 乘 故 步 , 又 以 返 數 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 一 返 。

〔 九 〕 今 有 程 傳 委 輸 , 空 車 日 行 七 十 里 , 重 車 日 行 五 十 里 。 今 載 太 倉 粟 輸 上 林 , 五 日 三 返 。 問 太 倉 去 上 林 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 十 八 里 、 十 八 分 里 之 十 一 。

          術 曰 : 并 空 、 重 里 數 , 以 三 返 乘 之 , 為 法 。 令 空 、 重 相 乘 , 又 以 五 日 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 一 里 。

〔 一 0 〕 今 有 絡 絲 一 斤 為 練 絲 一 十 二 兩 , 練 絲 一 斤 為 青 絲 一 斤 十 二 銖 。 今 有 青 絲 一 斤 , 問 本 絡 絲 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 斤 四 兩 一 十 六 銖 、 三 十 三 分 銖 之 十 六 。

          術 曰 : 以 練 絲 十 二 兩 乘 青 絲 一 斤 一 十 二 銖 為 法 。 以 青 絲 一 斤 銖 數 乘 練 絲 一 斤 兩 數 , 又 以 絡 絲 一 斤 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 一 斤 。

〔 一 一 〕 今 有 惡 粟 二 十 斗 , 舂 之 , 得 糲 米 九 斗 。 今 欲 求 粺 米 十 斗 , 問 惡 粟 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 四 斗 六 升 、 八 十 一 分 升 之 七 十 四 。

          術 曰 : 置 糲 米 九 斗 , 以 九 乘 之 , 為 法 。 亦 置 粺 米 十 斗 , 以 十 乘 之 , 又 以 惡 粟 二 十 斗 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 一 斗 。

〔 一 二 〕 今 有 善 行 者 行 一 百 步 , 不 善 行 者 行 六 十 步 。 今 不 善 行 者 先 行 一 百 步 , 善 行 者 追 之 , 問 幾 何 步 及 之 ?

              荅 曰 : 二 百 五 十 步 。

          術 曰 : 置 善 行 者 一 百 步 , 減 不 善 行 者 六 十 步 , 餘 四 十 步 , 以 為 法 。 以 善 行 者 之 一 百 步 , 乘 不 善 行 者 先 行 一 百 步 , 為 實 。 實 如 法 得 一 步 。

〔 一 三 〕 今 有 不 善 行 者 先 行 一 十 里 , 善 行 者 追 之 一 百 里 , 先 至 不 善 行 者 二 十 里 。 問 善 行 者 幾 何 里 及 之 ?

              荅 曰 : 三 十 三 里 、 少 半 里 。

          術 曰 : 置 不 善 行 者 先 行 一 十 里 , 以 善 行 者 先 至 二 十 里 增 之 , 以 為 法 。 以 不 善 行 者 先 行 一 十 里 , 乘 善 行 者 一 百 里 , 為 實 。 實 如 法 得 一 里 。

〔 一 四 〕 今 有 兔 先 走 一 百 步 , 犬 追 之 二 百 五 十 步 , 不 及 三 十 步 而 止 。 問 犬 不 止 , 復 行 幾 何 步 及 之 ?

              荅 曰 : 一 百 七 步 、 七 分 步 之 一 。

          術 曰 : 置 兔 先 走 一 百 步 , 以 犬 走 不 及 三 十 步 減 之 , 餘 為 法 。 以 不 及 三 十 步 乘 犬 追 步 數 為 實 , 實 如 法 得 一 步 。

〔 一 五 〕 今 有 人 持 金 十 二 斤 出 關 。 關 稅 之 , 十 分 而 取 一 。 今 關 取 金 二 斤 , 償 錢 五 千 。 問 金 一 斤 值 錢 幾 何 ?

              荅 曰 : 六 千 二 百 五 十 。

          術 曰 : 以 一 十 乘 二 斤 , 以 十 二 斤 減 之 , 餘 為 法 。 以 一 十 乘 五 千 為 實 。 實 如 法 得 一 錢 。

〔 一 六 〕 今 有 客 馬 日 行 三 百 里 。 客 去 忘 持 衣 , 日 已 三 分 之 一 , 主 人 乃 覺 。 持 衣 追 及 與 之 而 還 , 至 家 視 日 四 分 之 三 。 問 主 人 馬 不 休 , 日 行 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 百 八 十 里 。

          術 曰 : 置 四 分 日 之 三 , 除 三 分 日 之 一 , 半 其 餘 以 為 法 。 副 置 法 , 增 三 分 日 之 一 , 以 三 百 里 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 , 得 主 人 馬 一 日 行 。

〔 一 七 〕 今 有 金 箠 , 長 五 尺 。 斬 本 一 尺 , 重 四 斤 。 斬 末 一 尺 , 重 二 斤 。 問 次 一 尺 各 重 幾 何 ?

              荅 曰 : 末 一 尺 , 重 二 斤 。
              次 一 尺 , 重 二 斤 八 兩 。
              次 一 尺 , 重 三 斤 。
              次 一 尺 , 重 三 斤 八 兩 。
              次 一 尺 , 重 四 斤 。

          術 曰 : 令 末 重 減 本 重 , 餘 即 差 率 也 。 又 置 本 重 , 以 四 間 乘 之 , 為 下 第 一 衰 。 副 置 , 以 差 率 減 之 , 每 尺 各 自 為 衰 。 副 置 下 第 一 衰 以 為 法 , 以 本 重 四 斤 遍 乘 列 衰 , 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 斤 。

〔 一 八 〕 今 有 五 人 分 五 錢 , 令 上 二 人 所 得 與 下 三 人 等 。 問 各 得 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 得 一 錢 、 六 分 錢 之 二 ,
              乙 得 一 錢 、 六 分 錢 之 一 ,
              丙 得 一 錢 ,
              丁 得 六 分 錢 之 五 ,
              戊 得 六 分 錢 之 四 。

          術 曰 : 置 錢 錐 行 衰 , 并 上 二 人 為 九 , 并 下 三 人 為 六 。 六 少 於 九 , 三 。 以 三 均 加 焉 , 副 并 為 法 。 以 所 分 錢 乘 未 并 者 各 自 為 實 。 實 如 法 得 一 錢 。

〔 一 九 〕 今 有 竹 九 節 , 下 三 節 容 四 升 , 上 四 節 容 三 升 。 問 中 間 二 節 欲 均 容 各 多 少 ?

              荅 曰 :
              下 初 , 一 升 、 六 十 六 分 升 之 二 十 九 ,
              次 一 升 、 六 十 六 分 升 之 二 十 二 ,
              次 一 升 、 六 十 六 分 升 之 一 十 五 ,
              次 一 升 、 六 十 六 分 升 之 八 ,
              次 一 升 、 六 十 六 分 升 之 一 ,
              次 六 十 六 分 升 之 六 十 ,
              次 六 十 六 分 升 之 五 十 三 ,
              次 六 十 六 分 升 之 四 十 六 ,
              次 六 十 六 分 升 之 三 十 九 。

          術 曰 : 以 下 三 節 分 四 升 為 下 率 , 以 上 四 節 分 三 升 為 上 率 。 上 下 率 以 少 減 多 , 餘 為 實 。 置 四 節 、 三 節 , 各 半 之 , 以 減 九 節 , 餘 為 法 。 實 如 法 得 一 升 , 即 衰 相 去 也 。 下 率 , 一 升 、 少 半 升 者 , 下 第 二 節 容 也 。

〔 二 0 〕 今 有 鳧 起 南 海 , 七 日 至 北 海 ; 鴈 起 北 海 , 九 日 至 南 海 。 今 鳧 鴈 俱 起 。 問 何 日 相 逢 ?

              荅 曰 : 三 日 、 十 六 分 日 之 十 五 。

          術 曰 : 并 日 數 為 法 , 日 數 相 乘 為 實 , 實 如 法 得 一 日 。

〔 二 一 〕 今 有 甲 發 長 安 , 五 日 至 齊 ; 乙 發 齊 , 七 日 至 長 安 。 今 乙 發 已 先 二 日 , 甲 乃 發 長 安 。 問 幾 何 日 相 逢 ?

              荅 曰 : 二 日 、 十 二 分 日 之 一 。

          術 曰 : 并 五 日 、 七 日 以 為 法 。 以 乙 先 發 二 日 減 七 日 , 餘 , 以 乘 甲 日 數 為 實 。 實 如 法 得 一 日 。

〔 二 二 〕 今 有 一 人 一 日 為 牡 瓦 三 十 八 枚 , 一 人 一 日 為 牝 瓦 七 十 六 枚 。 今 令 一 人 一 日 作 瓦 , 牝 、 牡 相 半 , 問 成 瓦 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 五 枚 、 少 半 枚 。

          術 曰 : 并 牝 、 牡 為 法 , 牝 牡 相 乘 為 實 , 實 如 法 得 一 枚 。

〔 二 三 〕 今 有 一 人 一 日 矯 矢 五 十 , 一 人 一 日 羽 矢 三 十 , 一 人 一 日 筈 矢 十 五 。 今 令 一 人 一 日 自 矯 、 羽 、 筈 , 問 成 矢 幾 何 ?

              荅 曰 : 八 矢 、 少 半 矢 。

          術 曰 : 矯 矢 五 十 , 用 徒 一 人 。 羽 矢 五 十 , 用 徒 一 人 、 太 半 人 。 筈 矢 五 十 , 用 徒 三 人 、 少 半 人 。 并 之 , 得 六 人 , 以 為 法 。 以 五 十 矢 為 實 。 實 如 法 得 一 矢 。

〔 二 四 〕 今 有 假 田 , 初 假 之 歲 三 畝 一 錢 , 明 年 四 畝 一 錢 , 後 年 五 畝 一 錢 。 凡 三 歲 得 一 百 , 問 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 頃 二 十 七 畝 、 四 十 七 分 畝 之 三 十 一 。

          術 曰 : 置 畝 數 及 錢 數 , 令 畝 數 互 乘 錢 數 , 并 以 為 法 。 畝 數 相 乘 , 又 以 百 錢 乘 之 , 為 實 。 實 如 法 得 一 畝 。

〔 二 五 〕 今 有 程 耕 , 一 人 一 日 發 七 畝 , 一 人 一 日 耕 三 畝 , 一 人 一 日 耰 種 五 畝 。 今 令 一 人 一 日 自 發 、 耕 、 耰 種 之 , 問 治 田 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 畝 一 百 一 十 四 步 、 七 十 一 分 步 之 六 十 六 。

          術 曰 : 置 發 、 耕 、 耰 畝 數 , 令 互 乘 人 數 , 并 以 為 法 。 畝 數 相 乘 為 實 。 實 如 法 得 一 畝 。

〔 二 六 〕 今 有 池 , 五 渠 注 之 。 其 一 渠 開 之 , 少 半 日 一 滿 ; 次 , 一 日 一 滿 ; 次 , 二 日 半 一 滿 ; 次 , 三 日 一 滿 ; 次 , 五 日 一 滿 。 今 皆 決 之 , 問 幾 何 日 滿 池 ?

              荅 曰 : 七 十 四 分 日 之 十 五 。

          術 曰 : 各 置 渠 一 日 滿 池 之 數 , 并 以 為 法 。 以 一 日 為 實 。 實 如 法 得 一 日 。 其 一 術 , 列 置 日 數 及 滿 數 , 今 日 互 相 乘 滿 , 并 以 為 法 , 日 數 相 乘 為 實 , 實 如 法 得 一 日 。

〔 二 七 〕 今 有 人 持 米 出 三 關 , 外 關 三 而 取 一 , 中 關 五 而 取 一 , 內 關 七 而 取 一 , 餘 米 五 斗 。 問 本 持 米 幾 何 ?

              荅 曰 : 十 斗 九 升 、 八 分 升 之 三 。

          術 曰 : 置 米 五 斗 。 以 所 稅 者 三 之 , 五 之 , 七 之 , 為 實 。 以 餘 不 稅 者 二 、 四 、 六 相 乘 為 法 。 實 如 法 得 一 斗 。

〔 二 八 〕 今 有 人 持 金 出 五 關 , 前 關 二 而 稅 一 , 次 關 三 而 稅 一 , 次 關 四 而 稅 一 , 次 關 五 而 稅 一 , 次 關 六 而 稅 一 。 并 五 關 所 稅 , 適 重 一 斤 。 問 本 持 金 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 斤 三 兩 四 銖 、 五 分 銖 之 四 。

          術 曰 : 置 一 斤 , 通 所 稅 者 以 乘 之 為 實 。 亦 通 其 不 稅 者 以 減 所 通 , 餘 為 法 。 實 如 法 得 一 斤 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 七

    盈 不 足

〔 一 〕 今 有 共 買 物 , 人 出 八 , 盈 三 ; 人 出 七 , 不 足 四 。 問 人 數 、 物 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 七 人 ,
              物 價 五 十 三 。

〔 二 〕 今 有 共 買 雞 , 人 出 九 , 盈 十 一 ; 人 出 六 , 不 足 十 六 。 問 人 數 、 雞 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 九 人 ,
              雞 價 七 十 。

〔 三 〕 今 有 共 買 璡 , 人 出 半 , 盈 四 ; 人 出 少 半 , 不 足 三 。 問 人 數 、 璡 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 十 二 人 ,
              璡 價 十 七 。

〔 四 〕 今 有 共 買 牛 , 七 家 共 出 一 百 九 十 , 不 足 三 百 三 十 ; 九 家 共 出 二 百 七 十 , 盈 三 十 。 問 家 數 、 牛 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 二 十 六 家 ,
              牛 價 三 千 七 百 五 十 。

          盈 不 足 術 曰 : 置 所 出 率 , 盈 、 不 足 各 居 其 下 。 令 維 乘 所 出 率 , 并 以 為 實 。 并 盈 、 不 足 為 法 。 實 如 法 而 一 。 有 分 者 , 通 之 。 盈 不 足 相 與 同 其 買 物 者 , 置 所 出 率 , 以 少 減 多 , 餘 , 以 約 法 、 實 。 實 為 物 價 , 法 為 人 數 。

          其 一 術 曰 : 并 盈 不 足 為 實 。 以 所 出 率 以 少 減 多 , 餘 為 法 。 實 如 法 得 一 人 。 以 所 出 率 乘 之 , 減 盈 、 增 不 足 即 物 價 。

〔 五 〕 今 有 共 買 金 , 人 出 四 百 , 盈 三 千 四 百 ; 人 出 三 百 , 盈 一 百 。 問 人 數 、 金 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 十 三 人 。
              金 價 九 千 八 百 。

〔 六 〕 今 有 共 買 羊 , 人 出 五 , 不 足 四 十 五 ; 人 出 七 , 不 足 三 。 問 人 數 、 羊 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 十 一 人 ,
              羊 價 一 百 五 十 。

          兩 盈 、 兩 不 足 術 曰 : 置 所 出 率 , 盈 、 不 足 各 居 其 下 。 令 維 乘 所 出 率 , 以 少 減 多 , 餘 為 實 。 兩 盈 、 兩 不 足 以 少 減 多 , 餘 為 法 。 實 如 法 而 一 。 有 分 者 通 之 。 兩 盈 、 兩 不 足 相 與 同 其 買 物 者 , 置 所 出 率 , 以 少 減 多 , 餘 , 以 約 法 實 , 實 為 物 價 , 法 為 人 數 。

          其 一 術 曰 : 置 所 出 率 , 以 少 減 多 , 餘 為 法 。 兩 盈 、 兩 不 足 , 以 少 減 多 , 餘 為 實 。 實 如 法 而 一 得 人 數 。 以 所 出 率 乘 之 , 減 盈 、 增 不 足 , 即 物 價 。

〔 七 〕 今 有 共 買 豕 , 人 出 一 百 , 盈 一 百 ; 人 出 九 十 , 適 足 。 問 人 數 、 豕 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 十 人 ,
              豕 價 九 百 。

〔 八 〕 今 有 共 買 犬 , 人 出 五 , 不 足 九 十 ; 人 出 五 十 , 適 足 。 問 人 數 、 犬 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 人 ,
              犬 價 一 百 。

          盈 、 適 足 , 不 足 、 適 足 術 曰 : 以 盈 及 不 足 之 數 為 實 。 置 所 出 率 , 以 少 減 多 , 餘 為 法 。 實 如 法 得 一 人 。 其 求 物 價 者 , 以 適 足 乘 人 數 得 物 價 。

〔 九 〕 今 有 米 在 十 斗 桶 中 , 不 知 其 數 。 滿 中 添 粟 而 舂 之 , 得 米 七 斗 。 問 故 米 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 斗 五 升 。

            術 曰 : 以 盈 不 足 術 求 之 , 假 令 故 米 二 斗 , 不 足 二 升 。 令 之 三 斗 , 有 餘 二 升 。

〔 一 0 〕 今 有 垣 高 九 尺 。 瓜 生 其 上 , 蔓 日 長 七 寸 。 瓠 生 其 下 , 蔓 日 長 一 尺 。 問 幾 何 日 相 逢 ? 瓜 、 瓠 各 長 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 日 、 十 七 分 日 之 五 。
              瓜 長 三 尺 七 寸 、 十 七 分 寸 之 一 ,
              瓠 長 五 尺 二 寸 、 十 七 分 寸 之 十 六 。

          術 曰 : 假 令 五 日 , 不 足 五 寸 。 令 之 六 日 , 有 餘 一 尺 二 寸 。

〔 一 一 〕 今 有 蒲 生 一 日 , 長 三 尺 。 莞 生 一 日 , 長 一 尺 。 蒲 生 日 自 半 。 莞 生 日 自 倍 。 問 幾 何 日 而 長 等 ?

              荅 曰 : 二 日 、 十 三 分 日 之 六 。
              各 長 四 尺 八 寸 、 十 三 分 寸 之 六 。

          術 曰 : 假 令 二 日 , 不 足 一 尺 五 寸 。 令 之 三 日 , 有 餘 一 尺 七 寸 半 。

〔 一 二 〕 今 有 垣 厚 五 尺 , 兩 鼠 對 穿 。 大 鼠 日 一 尺 , 小 鼠 亦 日 一 尺 。 大 鼠 日 自 倍 , 小 鼠 日 自 半 。 問 幾 何 日 相 逢 ? 各 穿 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 日 、 十 七 分 日 之 二 。
              大 鼠 穿 三 尺 四 寸 、 十 七 分 寸 之 十 二 ,
              小 鼠 穿 一 尺 五 寸 、 十 七 分 寸 之 五 。

          術 曰 : 假 令 二 日 , 不 足 五 寸 。 令 之 三 日 , 有 餘 三 尺 七 寸 半 。

〔 一 三 〕 今 有 醇 酒 一 斗 , 直 錢 五 十 ; 行 酒 一 斗 , 直 錢 一 十 。 今 將 錢 三 十 , 得 酒 二 斗 。 問 醇 、 行 酒 各 得 幾 何 ?

              荅 曰 : 醇 酒 二 升 半 ,
              行 酒 一 斗 七 升 半 。

          術 曰 : 假 令 醇 酒 五 升 , 行 酒 一 斗 五 升 , 有 餘 一 十 。 令 之 醇 酒 二 升 , 行 酒 一 斗 八 升 , 不 足 二 。

〔 一 四 〕 今 有 大 器 五 、 小 器 一 容 三 斛 ; 大 器 一 、 小 器 五 容 二 斛 。 問 大 、 小 器 各 容 幾 何 ?

              荅 曰 : 大 器 容 二 十 四 分 斛 之 十 三 ,
              小 器 容 二 十 四 分 斛 之 七 。

          術 曰 : 假 令 大 器 五 斗 , 小 器 亦 五 斗 , 盈 一 十 斗 。 令 之 大 器 五 斗 五 升 , 小 器 二 斗 五 升 , 不 足 二 斗 。

〔 一 五 〕 今 有 漆 三 得 油 四 , 油 四 和 漆 五 。 今 有 漆 三 斗 , 欲 令 分 以 易 油 , 還 自 和 餘 漆 。 問 出 漆 、 得 油 、 和 漆 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 出 漆 一 斗 一 升 、 四 分 升 之 一 ,
              得 油 一 斗 五 升 ,
              和 漆 一 斗 八 升 , 四 分 升 之 三 。

          術 曰 : 假 令 出 漆 九 升 , 不 足 六 升 。 令 之 出 漆 一 斗 二 升 , 有 餘 二 升 。

〔 一 六 〕 今 有 玉 方 一 寸 , 重 七 兩 ; 石 方 一 寸 , 重 六 兩 。 今 有 石 立 方 三 寸 , 中 有 玉 , 并 重 十 一 斤 。 問 玉 、 石 重 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 玉 一 十 四 寸 , 重 六 斤 二 兩 。
              石 一 十 三 寸 , 重 四 斤 十 四 兩 。

          術 曰 : 假 令 皆 玉 , 多 十 三 兩 。 令 之 皆 石 , 不 足 十 四 兩 。 不 足 為 玉 , 多 為 石 。 各 以 一 寸 之 重 乘 之 , 得 玉 石 之 積 重 。

〔 一 七 〕 今 有 善 田 一 畝 , 價 三 百 ; 惡 田 七 畝 , 價 五 百 。 今 并 買 一 頃 , 價 錢 一 萬 。 問 善 、 惡 田 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 善 田 一 十 二 畝 半 ,
              惡 田 八 十 七 畝 半 。

          術 曰 : 假 令 善 田 二 十 畝 , 惡 田 八 十 畝 , 多 一 千 七 百 一 十 四 錢 、 七 分 錢 之 二 。 令 之 善 田 一 十 畝 , 惡 田 九 十 畝 , 不 足 五 百 七 十 一 錢 、 七 分 錢 之 三 。

〔 一 八 〕 今 有 黃 金 九 枚 , 白 銀 一 十 一 枚 , 稱 之 重 適 等 。 交 易 其 一 , 金 輕 十 三 兩 。 問 金 、 銀 一 枚 各 重 幾 何 ?

              荅 曰 : 金 重 二 斤 三 兩 一 十 八 銖 ,
              銀 重 一 斤 十 三 兩 六 銖 。

          術 曰 : 假 令 黃 金 三 斤 , 白 銀 二 斤 、 一 十 一 分 斤 之 五 , 不 足 四 十 九 , 於 右 行 。 令 之 黃 金 二 斤 , 白 銀 一 斤 、 一 十 一 分 斤 之 七 , 多 一 十 五 於 左 行 。 以 分 母 各 乘 其 行 內 之 數 , 以 盈 不 足 維 乘 所 出 率 , 并 以 為 實 。 并 盈 不 足 為 法 。 實 如 法 , 得 黃 金 重 。 分 母 乘 法 以 除 , 得 銀 重 。 約 之 得 分 也 。

〔 一 九 〕 今 有 良 馬 與 駑 馬 發 長 安 至 齊 。 齊 去 長 安 三 千 里 。 良 馬 初 日 行 一 百 九 十 三 里 , 日 增 十 三 里 。 駑 馬 初 日 行 九 十 七 里 , 日 減 半 里 。 良 馬 先 至 齊 , 復 還 迎 駑 馬 。 問 幾 何 日 相 逢 及 各 行 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 十 五 日 、 一 百 九 十 一 分 日 之 一 百 三 十 五 而 相 逢 。
              良 馬 行 四 千 五 百 三 十 四 里 、 一 百 九 十 一 分 里 之 四 十 六 。
              駑 馬 行 一 千 四 百 六 十 五 里 、 一 百 九 十 一 分 里 之 一 百 四 十 五 。

          術 曰 : 假 令 十 五 日 , 不 足 三 百 三 十 七 里 半 。 令 之 十 六 日 , 多 一 百 四 十 里 。 以 盈 、 不 足 維 乘 假 令 之 數 , 并 而 為 實 。 并 盈 不 足 為 法 。 實 如 法 而 一 , 得 日 數 。 不 盡 者 , 以 等 數 除 之 而 命 分 。

〔 二 0 〕 今 有 人 持 錢 之 蜀 , 賈 利 十 三 。 初 返 歸 一 萬 四 千 , 次 返 歸 一 萬 三 千 , 次 返 歸 一 萬 二 千 , 次 返 歸 一 萬 一 千 , 後 返 歸 一 萬 。 凡 五 返 歸 錢 , 本 利 俱 盡 。 問 本 持 錢 及 利 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 本 三 萬 四 百 六 十 八 錢 、 三 十 七 萬 一 千 二 百 九 十 三 分 錢 之 八 萬 四 千 八 百 七 十 六 。 利 二 萬 九 千 五 百 三 十 一 錢 、 三 十 七 萬 一 千 二 百 九 十 三 分 錢 之 二 十 八 萬 六 千 四 百 一 十 七 。

          術 曰 : 假 令 本 錢 三 萬 , 不 足 一 千 七 百 三 十 八 錢 半 。 令 之 四 萬 , 多 三 萬 五 千 三 百 九 十 錢 八 分 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 八

    方 程

〔 一 〕 今 有 上 禾 三 秉 , 中 禾 二 秉 , 下 禾 一 秉 , 實 三 十 九 斗 ; 上 禾 二 秉 , 中 禾 三 秉 , 下 禾 一 秉 , 實 三 十 四 斗 ; 上 禾 一 秉 , 中 禾 二 秉 , 下 禾 三 秉 , 實 二 十 六 斗 。 問 上 、 中 、 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              上 禾 一 秉 , 九 斗 、 四 分 斗 之 一 ,
              中 禾 一 秉 , 四 斗 、 四 分 斗 之 一 ,
              下 禾 一 秉 , 二 斗 、 四 分 斗 之 三 。

          方 程 術 曰 , 置 上 禾 三 秉 , 中 禾 二 秉 , 下 禾 一 秉 , 實 三 十 九 斗 , 於 右 方 。 中 、 左 禾 列 如 右 方 。 以 右 行 上 禾 遍 乘 中 行 而 以 直 除 。 又 乘 其 次 , 亦 以 直 除 。 然 以 中 行 中 禾 不 盡 者 遍 乘 左 行 而 以 直 除 。 左 方 下 禾 不 盡 者 , 上 為 法 , 下 為 實 。 實 即 下 禾 之 實 。 求 中 禾 , 以 法 乘 中 行 下 實 , 而 除 下 禾 之 實 。 餘 如 中 禾 秉 數 而 一 , 即 中 禾 之 實 。 求 上 禾 亦 以 法 乘 右 行 下 實 , 而 除 下 禾 、 中 禾 之 實 。 餘 如 上 禾 秉 數 而 一 , 即 上 禾 之 實 。 實 皆 如 法 , 各 得 一 斗 。

〔 二 〕 今 有 上 禾 七 秉 , 損 實 一 斗 , 益 之 下 禾 二 秉 , 而 實 一 十 斗 。 下 禾 八 秉 , 益 實 一 斗 與 上 禾 二 秉 , 而 實 一 十 斗 。 問 上 、 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              上 禾 一 秉 實 一 斗 、 五 十 二 分 斗 之 一 十 八 ,
              下 禾 一 秉 實 五 十 二 分 斗 之 四 十 一 。

          術 曰 : 如 方 程 。 損 之 曰 益 , 益 之 曰 損 。 損 實 一 斗 者 , 其 實 過 一 十 斗 也 。 益 實 一 斗 者 , 其 實 不 滿 一 十 斗 也 。

〔 三 〕 今 有 上 禾 二 秉 , 中 禾 三 秉 , 下 禾 四 秉 , 實 皆 不 滿 斗 。 上 取 中 , 中 取 下 , 下 取 上 各 一 秉 而 實 滿 斗 。 問 上 、 中 、 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              上 禾 一 秉 實 二 十 五 分 斗 之 九 ,
              中 禾 一 秉 實 二 十 五 分 斗 之 七 ,
              下 禾 一 秉 實 二 十 五 分 斗 之 四 。

          術 曰 : 如 方 程 , 各 置 所 取 , 以 正 負 術 入 之 。

          正 負 術 曰 : 同 名 相 除 , 異 名 相 益 , 正 無 入 負 之 , 負 無 入 正 之 。 其 異 名 相 除 , 同 名 相 益 , 正 無 入 正 之 , 負 無 入 負 之 。

〔 四 〕 今 有 上 禾 五 秉 , 損 實 一 斗 一 升 , 當 下 禾 七 秉 。 上 禾 七 秉 , 損 實 二 斗 五 升 , 當 下 禾 五 秉 。 問 上 、 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              上 禾 一 秉 五 升 ,
              下 禾 一 秉 二 升 。

          術 曰 : 如 方 程 , 置 上 禾 五 秉 正 , 下 禾 七 秉 負 , 損 實 一 斗 一 升 正 。 次 置 上 禾 七 秉 正 , 下 禾 五 秉 負 , 損 實 二 斗 五 升 正 。 以 正 負 術 入 之 。

〔 五 〕 今 有 上 禾 六 秉 , 損 實 一 斗 八 升 , 當 下 禾 一 十 秉 。 下 禾 十 五 秉 , 損 實 五 升 , 當 上 禾 五 秉 。 問 上 、 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              上 禾 一 秉 實 八 升 ,
              下 禾 一 秉 實 三 升 。

          術 曰 : 如 方 程 , 置 上 禾 六 秉 正 , 下 禾 一 十 秉 負 , 損 實 一 斗 八 升 正 。 次 置 上 禾 五 秉 負 , 下 禾 一 十 五 秉 正 , 損 實 五 升 正 。 以 正 負 術 人 之 。

〔 六 〕 今 有 上 禾 三 秉 , 益 實 六 斗 , 當 下 禾 十 秉 。 下 禾 五 秉 , 益 實 一 斗 , 當 上 禾 二 秉 。 問 上 、 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              上 禾 一 秉 實 八 斗 ,
              下 禾 一 秉 實 三 斗 。

          術 曰 : 如 方 程 , 置 上 禾 三 秉 正 , 下 禾 一 十 秉 負 , 益 實 六 斗 負 。 次 置 上 禾 二 秉 負 , 下 禾 五 秉 正 , 益 實 一 斗 負 。 以 正 負 術 入 之 。

〔 七 〕 今 有 牛 五 、 羊 二 , 直 金 十 兩 。 牛 二 、 羊 五 直 金 八 兩 。 問 牛 羊 各 直 金 幾 何 ?

              荅 曰 :
              牛 一 , 直 金 一 兩 、 二 十 一 分 兩 之 一 十 三 ,
              羊 一 , 直 金 二 十 一 分 兩 之 二 十 。

          術 曰 : 如 方 程 。

〔 八 〕 今 有 賣 牛 二 、 羊 五 , 以 買 十 三 豕 , 有 餘 錢 一 千 。 賣 牛 三 、 豕 三 , 以 買 九 羊 , 錢 適 足 。 賣 羊 六 、 豕 八 , 以 買 五 牛 , 錢 不 足 六 百 。 問 牛 、 羊 、 豕 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              牛 價 一 千 二 百 ,
              羊 價 五 百 ,
              豕 價 三 百 。

          術 曰 : 如 方 程 , 置 牛 二 、 羊 五 正 , 豕 一 十 三 負 , 餘 錢 數 正 ; 次 牛 三 正 , 羊 九 負 , 豕 三 正 ; 次 牛 五 負 , 羊 六 正 , 豕 八 正 , 不 足 錢 負 。 以 正 負 術 入 之 。

〔 九 〕 今 有 五 雀 、 六 燕 , 集 稱 之 衡 , 雀 俱 重 , 燕 俱 輕 。 一 雀 一 燕 交 而 處 , 衡 適 平 。 并 燕 、 雀 重 一 斤 。 問 燕 、 雀 一 枚 各 重 幾 何 ?

              荅 曰 :
              雀 重 一 兩 、 一 十 九 分 兩 之 十 三 ,
              燕 重 一 兩 、 一 十 九 分 兩 之 五 。

          術 曰 : 如 方 程 , 交 易 質 之 , 各 重 八 兩 。

〔 一 0 〕 今 有 甲 乙 二 人 持 錢 不 知 其 數 。 甲 得 乙 半 而 錢 五 十 , 乙 得 甲 太 半 而 亦 錢 五 十 。 問 甲 、 乙 持 錢 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 持 三 十 七 錢 半 ,
              乙 持 二 十 五 錢 。

          術 曰 : 如 方 程 , 損 益 之 。

〔 一 一 〕 今 有 二 馬 、 一 牛 價 過 一 萬 , 如 半 馬 之 價 。 一 馬 、 二 牛 價 不 滿 一 萬 , 如 半 牛 之 價 。 問 牛 、 馬 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              馬 價 五 千 四 百 五 十 四 錢 、 一 十 一 分 錢 之 六 ,
              牛 價 一 千 八 百 一 十 八 錢 、 一 十 一 分 錢 之 二 。

          術 曰 : 如 方 程 , 損 益 之 。

〔 一 二 〕 今 有 武 馬 一 匹 , 中 馬 二 匹 , 下 馬 三 匹 , 皆 載 四 十 石 至 阪 , 皆 不 能 上 。 武 馬 借 中 馬 一 匹 , 中 馬 借 下 馬 一 匹 , 下 馬 借 武 馬 一 匹 , 乃 皆 上 。 問 武 、 中 、 下 馬 一 匹 各 力 引 幾 何 ?

              荅 曰 :
              武 馬 一 匹 力 引 二 十 二 石 、 七 分 石 之 六 ,
              中 馬 一 匹 力 引 十 七 石 、 七 分 石 之 一 ,
              下 馬 一 匹 力 引 五 石 、 七 分 石 之 五 。

          術 曰 : 如 方 程 各 置 所 借 , 以 正 負 術 入 之 。

〔 一 三 〕 今 有 五 家 共 井 , 甲 二 綆 不 足 , 如 乙 一 綆 ; 乙 三 綆 不 足 , 如 丙 一 綆 ; 丙 四 綆 不 足 , 如 丁 一 綆 ; 丁 五 綆 不 足 , 如 戊 一 綆 ; 戊 六 綆 不 足 , 如 甲 一 綆 。 如 各 得 所 不 足 一 綆 , 皆 逮 。 問 井 深 、 綆 長 各 幾 何 ?

              荅 曰 : 井 深 七 丈 二 尺 一 寸 。
              甲 綆 長 二 丈 六 尺 五 寸 ,
              乙 綆 長 一 丈 九 尺 一 寸 ,
              丙 綆 長 一 丈 四 尺 八 寸 ,
              丁 綆 長 一 丈 二 尺 九 寸 ,
              戊 綆 長 七 尺 六 寸 。

          術 曰 : 如 方 程 , 以 正 負 術 入 之 。

〔 一 四 〕 今 有 白 禾 二 步 、 青 禾 三 步 、 黃 禾 四 步 、 黑 禾 五 步 , 實 各 不 滿 斗 。 白 取 青 、 黃 , 青 取 黃 、 黑 , 黃 取 黑 、 白 , 黑 取 白 、 青 , 各 一 步 , 而 實 滿 斗 。 問 白 、 青 、 黃 、 黑 禾 實 一 步 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              白 禾 一 步 實 一 百 一 十 一 分 斗 之 三 十 三 ,
              青 禾 一 步 實 一 百 一 十 一 分 斗 之 二 十 八 ,
              黃 禾 一 步 實 一 百 一 十 一 分 斗 之 一 十 七 ,
              黑 禾 一 步 實 一 百 一 十 一 分 斗 之 一 十 。

          術 曰 : 如 方 程 , 各 置 所 取 , 以 正 負 術 入 之 。

〔 一 五 〕 今 有 甲 禾 二 秉 、 乙 禾 三 秉 、 丙 禾 四 秉 , 重 皆 過 於 石 。 甲 二 重 如 乙 一 , 乙 三 重 如 丙 一 , 丙 四 重 如 甲 一 。 問 甲 、 乙 、 丙 禾 一 秉 各 重 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 禾 一 秉 重 二 十 三 分 石 之 十 七 ,
              乙 禾 一 秉 重 二 十 三 分 石 之 十 一 ,
              丙 禾 一 秉 重 二 十 三 分 石 之 十 。

          術 曰 : 如 方 程 , 置 重 過 於 石 之 物 為 負 。 以 正 負 術 入 之 。

〔 一 六 〕 今 有 令 一 人 、 吏 五 人 、 從 者 一 十 人 , 食 雞 一 十 ; 令 一 十 人 、 吏 一 人 、 從 者 五 人 , 食 雞 八 ; 令 五 人 、 吏 一 十 人 、 從 者 一 人 , 食 雞 六 。 問 令 、 吏 、 從 者 食 雞 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              令 一 人 食 一 百 二 十 二 分 雞 之 四 十 五 ,
              吏 一 人 食 一 百 二 十 二 分 雞 之 四 十 一 ,
              從 者 一 人 食 一 百 二 十 二 分 雞 之 九 十 七 。

          術 曰 : 如 方 程 , 以 正 負 術 入 之 。

〔 一 七 〕 今 有 五 羊 、 四 犬 、 三 雞 、 二 兔 , 直 錢 一 千 四 百 九 十 六 ; 四 羊 、 二 犬 、 六 雞 、 三 兔 直 錢 一 千 一 百 七 十 五 ; 三 羊 、 一 犬 、 七 雞 、 五 兔 , 直 錢 九 百 五 十 八 ; 二 羊 、 三 犬 、 五 雞 、 一 兔 , 直 錢 八 百 六 十 一 。 問 羊 、 犬 、 雞 、 兔 價 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              羊 價 一 百 七 十 七 ,
              犬 價 一 百 二 十 一 ,
              雞 價 二 十 三 ,
              兔 價 二 十 九 。

          術 曰 : 如 方 程 , 以 正 負 術 入 之 。

〔 一 八 〕 今 有 麻 九 斗 、 麥 七 斗 、 菽 三 斗 、 荅 二 斗 、 黍 五 斗 , 直 錢 一 百 四 十 ; 麻 七 斗 、 麥 六 斗 、 菽 四 斗 、 荅 五 斗 、 黍 三 斗 , 直 錢 一 百 二 十 八 ; 麻 三 斗 、 麥 五 斗 、 菽 七 斗 、 荅 六 斗 、 黍 四 斗 , 直 錢 一 百 一 十 六 ; 麻 二 斗 、 麥 五 斗 、 菽 三 斗 、 荅 九 斗 、 黍 四 斗 , 直 錢 一 百 一 十 二 ; 麻 一 斗 、 麥 三 斗 、 菽 二 斗 、 荅 八 斗 、 黍 五 斗 , 直 錢 九 十 五 。 問 一 斗 直 幾 何 ?

              荅 曰 :
              麻 一 斗 七 錢 ,
              麥 一 斗 四 錢 ,
              菽 一 斗 三 錢 ,
              荅 一 斗 五 錢 ,
              黍 一 斗 六 錢 。

          術 曰 : 如 方 程 , 以 正 負 術 入 之 。
 
 
 

      九 章 算 術 卷 第 九

    句 股

〔 一 〕 今 有 句 三 尺 , 股 四 尺 , 問 為 弦 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 尺 。

〔 二 〕 今 有 弦 五 尺 , 句 三 尺 , 問 為 股 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 尺 。

〔 三 〕 今 有 股 四 尺 , 弦 五 尺 , 問 為 句 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 尺 。

          句 股 術 曰 : 句 股 各 自 乘 , 并 , 而 開 方 除 之 , 即 弦 。

          又 股 自 乘 , 以 減 弦 自 乘 , 其 餘 開 方 除 之 , 即 句 。

          又 句 自 乘 , 以 減 弦 自 乘 , 其 餘 開 方 除 之 , 即 股 。

〔 四 〕 今 有 圓 材 徑 二 尺 五 寸 , 欲 為 方 版 , 令 厚 七 寸 。 問 廣 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 尺 四 寸 。

          術 曰 : 令 徑 二 尺 五 寸 自 乘 , 以 七 寸 自 乘 減 之 , 其 餘 開 方 除 之 , 即 廣 。

〔 五 〕 今 有 木 長 二 丈 , 圍 之 三 尺 。 葛 生 其 下 , 纏 木 七 周 , 上 與 木 齊 。 問 葛 長 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 丈 九 尺 。

          術 曰 : 以 七 周 乘 三 尺 為 股 , 木 長 為 句 , 為 之 求 弦 。 弦 者 , 葛 之 長 。

〔 六 〕 今 有 池 方 一 丈 , 葭 生 其 中 央 , 出 水 一 尺 。 引 葭 赴 岸 , 適 與 岸 齊 。 問 水 深 、 葭 長 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              水 深 一 丈 二 尺 ;
              葭 長 一 丈 三 尺 。

          術 曰 : 半 池 方 自 乘 , 以 出 水 一 尺 自 乘 , 減 之 , 餘 , 倍 出 水 除 之 , 即 得 水 深 。 加 出 水 數 , 得 葭 長 。

〔 七 〕 今 有 立 木 , 繫 索 其 末 , 委 地 三 尺 。 引 索 卻 行 , 去 本 八 尺 而 索 盡 。 問 索 長 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 丈 二 尺 、 六 分 尺 之 一 。

          術 曰 : 以 去 本 自 乘 , 令 如 委 數 而 一 , 所 得 , 加 委 地 數 而 半 之 , 即 索 長

〔 八 〕 今 有 垣 高 一 丈 。 倚 木 於 垣 , 上 與 垣 齊 。 引 木 卻 行 一 尺 , 其 木 至 地 。 問 木 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 丈 五 寸 。

          術 曰 : 以 垣 高 十 尺 自 乘 , 如 卻 行 尺 數 而 一 , 所 得 , 以 加 卻 行 尺 數 而 半 之 , 即 木 長 數 。

〔 九 〕 今 有 圓 材 , 埋 在 壁 中 , 不 知 大 小 。 以 鐻 鐻 之 , 深 一 寸 , 鐻 道 長 一 尺 。 問 徑 幾 何 ?

              荅 曰 : 材 徑 二 尺 六 寸 。

          術 曰 : 半 鐻 道 自 乘 , 如 深 寸 而 一 , 以 深 寸 增 之 , 即 材 徑 。

〔 一 0 〕 今 有 開 門 去 閫 一 尺 , 不 合 二 寸 。 問 門 廣 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 丈 一 寸 。

          術 曰 : 以 去 閫 一 尺 自 乘 , 所 得 , 以 不 合 二 寸 半 之 而 一 , 所 得 , 增 不 合 之 半 , 即 得 門 廣 。

〔 一 一 〕 今 有 戶 高 多 於 廣 六 尺 八 寸 , 兩 隅 相 去 適 一 丈 。 問 戶 高 、 廣 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              廣 二 尺 八 寸 ;
              高 九 尺 六 寸 。

          術 曰 : 令 一 丈 自 乘 為 實 。 半 相 多 , 令 自 乘 , 倍 之 , 減 實 , 半 其 餘 。 以 開 方 除 之 , 所 得 , 減 相 多 之 半 , 即 戶 廣 。 加 相 多 之 半 , 即 戶 高 。

〔 一 二 〕 今 有 戶 不 知 高 廣 , 竿 不 知 長 短 。 橫 之 不 出 四 尺 , 從 之 不 出 二 尺 , 邪 之 適 出 。 問 戶 高 、 廣 、 袤 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              廣 六 尺 ,
              高 八 尺 ,
              袤 一 丈 。

          術 曰 : 從 、 橫 不 出 相 乘 , 倍 , 而 開 方 除 之 。 所 得 加 從 不 出 即 戶 廣 , 加 橫 不 出 即 戶 高 , 兩 不 出 加 之 , 得 戶 袤 。

〔 一 三 〕 今 有 竹 高 一 丈 , 末 折 抵 地 , 去 本 三 尺 。 問 折 者 高 幾 何 ?

              荅 曰 : 四 尺 、 二 十 分 尺 之 十 一 。

          術 曰 : 以 去 本 自 乘 , 令 如 高 而 一 , 所 得 , 以 減 竹 高 而 半 其 餘 , 即 折 者 之 高 也 。

〔 一 四 〕 今 有 二 人 同 所 立 。 甲 行 率 七 , 乙 行 率 三 。 乙 東 行 。 甲 南 行 十 步 而 邪 東 北 與 乙 會 。 問 甲 乙 行 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              乙 東 行 一 十 步 半 ;
              甲 邪 行 一 十 四 步 半 及 之 。

          術 曰 : 令 七 自 乘 , 三 亦 自 乘 , 并 而 半 之 , 以 為 甲 邪 行 率 。 邪 行 率 減 於 七 自 乘 , 餘 為 南 行 率 。 以 三 乘 七 為 乙 東 行 率 。 置 南 行 十 步 , 以 甲 邪 行 率 乘 之 , 副 置 十 步 , 以 乙 東 行 率 乘 之 , 各 自 為 實 。 實 如 南 行 率 而 一 , 各 得 行 數 。

〔 一 五 〕 今 有 句 五 步 , 股 十 二 步 。 問 句 中 容 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 方 三 步 、 十 七 分 步 之 九 。

          術 曰 : 并 句 、 股 為 法 , 句 股 相 乘 為 實 , 實 如 法 而 一 , 得 方 一 步 。

〔 一 六 〕 今 有 句 八 步 , 股 十 五 步 。 問 句 中 容 圓 , 徑 幾 何 ?

              荅 曰 : 六 步 。

          術 曰 : 八 步 為 句 , 十 五 步 為 股 , 為 之 求 弦 。 三 位 并 之 為 法 , 以 句 乘 股 , 倍 之 為 實 。 實 如 法 得 徑 一 步 。

〔 一 七 〕 今 有 邑 方 二 百 步 , 各 中 開 門 。 出 東 門 十 五 步 有 木 。 問 出 南 門 幾 何 步 而 見 木 ?

              荅 曰 : 六 百 六 十 六 步 、 太 半 步 。

          術 曰 : 出 東 門 步 數 為 法 , 半 邑 方 自 乘 為 實 , 實 如 法 得 一 步 。

〔 一 八 〕 今 有 邑 , 東 西 七 里 , 南 北 九 里 , 各 中 開 門 。 出 東 門 十 五 里 有 木 。 問 出 南 門 幾 何 步 而 見 木 ?

              荅 曰 : 三 百 一 十 五 步 。

          術 曰 : 東 門 南 至 隅 步 數 , 以 乘 南 門 東 至 隅 步 數 為 實 。 以 木 去 門 步 數 為 法 。 實 如 法 而 一 。

〔 一 九 〕 今 有 邑 方 不 知 大 小 , 各 中 開 門 。 出 北 門 三 十 步 有 木 , 出 西 門 七 百 五 十 步 見 木 。 問 邑 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 里 。

          術 曰 : 令 兩 出 門 步 數 相 乘 , 因 而 四 之 , 為 實 。 開 方 除 之 , 即 得 邑 方 。

〔 二 0 〕 今 有 邑 方 不 知 大 小 , 各 中 開 門 。 出 北 門 二 十 步 有 木 。 出 南 門 十 四 步 , 折 而 西 行 一 千 七 百 七 十 五 步 見 木 。 問 邑 方 幾 何 ?

              荅 曰 : 二 百 五 十 步 。

          術 曰 : 以 出 北 門 步 數 乘 西 行 步 數 , 倍 之 , 為 實 。 并 出 南 門 步 數 為 從 法 , 開 方 除 之 , 即 邑 方 。

〔 二 一 〕 今 有 邑 方 十 里 , 各 中 開 門 。 甲 乙 俱 從 邑 中 央 而 出 。 乙 東 出 ; 甲 南 出 , 出 門 不 知 步 數 , 邪 向 東 北 磨 邑 , 適 與 乙 會 。 率 甲 行 五 , 乙 行 三 。 問 甲 、 乙 行 各 幾 何 ?

              荅 曰 :
              甲 出 南 門 八 百 步 , 邪 東 北 行 四 千 八 百 八 十 七 步 半 , 及 乙 。
              乙 東 行 四 千 三 百 一 十 二 步 半 。

          術 曰 : 令 五 自 乘 , 三 亦 自 乘 , 并 而 半 之 , 為 邪 行 率 。 邪 行 率 減 於 五 自 乘 者 , 餘 , 為 南 行 率 。 以 三 乘 五 , 為 乙 東 行 率 。 置 邑 方 半 之 , 以 南 行 率 乘 之 , 如 東 行 率 而 一 , 即 得 出 南 門 步 數 。 以 增 邑 方 半 , 即 南 行 。 置 南 行 步 求 弦 者 , 以 邪 行 率 乘 之 , 求 東 者 以 東 行 率 乘 之 , 各 自 為 實 。 實 如 南 行 率 得 一 步 。

〔 二 二 〕 有 木 去 人 不 知 遠 近 。 立 四 表 , 相 去 各 一 丈 , 令 左 兩 表 與 所 望 參 相 直 。 從 後 右 表 望 之 , 入 前 右 表 三 寸 。 問 木 去 人 幾 何 ?

              荅 曰 : 三 十 三 丈 三 尺 三 寸 、 少 半 寸 。

          術 曰 : 令 一 丈 自 乘 為 實 , 以 三 寸 為 法 , 實 如 法 而 一 。

〔 二 三 〕 有 山 居 木 西 , 不 知 其 高 。 山 去 木 五 十 三 里 , 木 高 九 丈 五 尺 。 人 立 木 東 三 里 , 望 木 末 適 與 山 峰 斜 平 。 人 目 高 七 尺 。 問 山 高 幾 何 ?

              荅 曰 : 一 百 六 十 四 丈 九 尺 六 寸 、 太 半 寸 。

          術 曰 : 置 木 高 減 人 目 高 七 尺 , 餘 , 以 乘 五 十 三 里 為 實 。 以 人 去 木 三 里 為 法 。 實 如 法 而 一 , 所 得 , 加 木 高 即 山 高 。

〔 二 四 〕 今 有 井 徑 五 尺 , 不 知 其 深 。 立 五 尺 木 於 井 上 , 從 木 末 望 水 岸 , 入 徑 四 寸 。 問 井 深 幾 何 ?

              荅 曰 : 五 丈 七 尺 五 寸 。

          術 曰 : 置 井 徑 五 尺 , 以 入 徑 四 寸 減 之 , 餘 , 以 乘 立 木 五 尺 為 實 。 以 入 徑 四 寸 為 法 。 實 如 法 得 一 寸 。