中國數學﹝Chinese Mathematics

        中國是世界文明古國之一,地處亞洲東部,瀕太平洋西岸。數學在中國的發展源遠流長,成就輝煌。下面我們依歷史的發展,分段敘述。

  1. 先秦萌芽時期


            黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃,大約在公元前2000年,在黃河中下游產生了第一個奴隸制國家──夏朝。其後有商、殷兩代﹝約1500 B.C -1027 B.C﹞、及周朝﹝1027 B.C -221 B.C﹞。歷史上又稱公元前八世紀至秦王朝的建立﹝221 B.C﹞為春秋戰國時期。

            據《易.系辭》記載:「上古結繩而治,後世聖人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十,及百、千、萬是專用的記數文字,共有13個獨立符號,記數用合文書寫,其中有十進位制的記數法,出現最大的數字為三萬。

            算籌是中國古代的計算工具,而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考,但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。

            用算籌記數,有縱、橫兩種方式:

              1    2     3      4      5    6     7    8    9

    縱式         

    橫式               

            表示一個多位數字時,採用十進位值制,各位值的數目從左到右排列,縱橫相間﹝法則是:一縱十橫,百立千僵,千、十相望,萬、百相當﹞,並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。

            籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代,中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

            在幾何學方面《史記.夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具,並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理﹝西方稱畢氏定理﹞的特例。戰國時期,齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規範,包含了一些測量的內容,並涉及到一些幾何知識,例如角的概念。

            戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展,一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題,例如:「圓,一中同長也」、「平,同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題,強調抽象的數學思想,例如「至大無外謂之大一,至小無內謂之小一」、「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想,但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。

            此外,講述陰陽八卦,預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽,並反映出二進制的思想。

  2. 漢唐初創時期


            這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數學發展,所經歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。

            秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化,數學方面的專書陸續出現。

            西漢末年﹝公元前一世紀﹞編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)測太陽高、遠的陳子測日法,為後來重差術的先驅。此外,還有較複雜的開方問題和分數運算等。

            《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作,約成書於東漢初年﹝公元前一世紀﹞。全書採用問題集的形式編寫,共收集了246個問題及其解法,分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法各種面積和體積的計算關於勾股測量的計算等。在代數方面,《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則,在世界數學史上都是最早的記載;書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說,它注重應用,注重理論聯系實際,形成了以籌算為中心的數學體系,對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯,並通過這些國家傳到歐洲,促進了世界數學的發展。

            魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一,對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》,不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導,且在論述過程中多有創新,更撰寫《海島算經》,應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術,為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法。

            南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態,但數學的發展依然蓬勃。《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》就是這個時期的作品。《孫子算經》給出「物不知數」問題,導致求解一次同餘組問題;《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。

            祖沖之、祖桓父子的工作在這一時期最具代表性,他們在《九章算術》劉徽注的基礎上,將傳統數學大大向前推進了一步,成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳,根據史料記載,他們在數學上主要有三項成就:(1)計算圓周率精確到小數點後第六位,得到3.1415926 <π< 3.1415927,並求得π的約率為22/7,密率為355/113(2)得到祖 桓定理﹝冪勢既同,則積不容異﹞並得到球體積公式;(3)發展了二次與三次方程的解法。

            隋朝大興土木,客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通撰《緝古算經》,主要是討論土木工程中計算土方、工程的分工與驗收以及倉庫和地窖的計算問題。

        唐朝在數學教育方面有長足的發展。656年國子監設立算學館,設有算學博士和助教,由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》﹝包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》﹞,作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。

        此外,隋唐時期由於曆法需要,創立出二次內插法,為宋元時期的高次內插法奠定了基礎。而唐朝後期的計算技術有了進一步的改進和普及,出現很多種實用算術書,對於乘除算法力求簡捷。

  3. 宋元全盛時期
        唐朝亡後,五代十國仍是軍閥混戰的繼續,直到北宋王朝統一了中國,農業、手工業、商業迅速繁榮,科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀﹝宋、元兩代﹞,籌算數學達到極盛,是中國古代數學空前繁榮,碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作,列舉如下:賈憲的《黃帝九章算法細草》﹝11世紀中葉﹞,劉益的《議古根源》﹝12世紀中葉﹞,秦九韶的《數書九章》﹝1247﹞,李冶的《測圓海鏡》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞,楊輝的《詳解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《楊輝算法》﹝1274-1275﹞,朱世杰的《算學啟蒙》﹝1299﹞和《四元玉鑒》﹝1303﹞等等。

        宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學,甚至是當時世界數學的巔峰。其中主要的工作有:

  1. 高次方程數值解法;
  2. 天元術與四元術,即高次方程的立法與解法,是中國數學史上首次引入符號,並用符號運算來解決建立高次方程的問題;
  3. 大衍求一術,即一次同餘式組的解法,現在稱為中國剩餘定理;
  4. 招差術和垛積術,即高次內插法和高階等差級數求和。
        另外,其他成就包括勾股形解法新的發展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖﹝幻方﹞的研究、小數﹝十進分數﹞具體的應用、珠算的出現等等。

        這一時期民間數學教育也有一定的發展,以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。

  1. 西學輸入時期
        這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共500多年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面,當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等複雜的問題,不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末,西方初等數學開始傳入中國,使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後,近代高等數學開始傳入中國,中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。直到十九世紀末,中國的近代數學研究才真正開始。

        明代最大的成就是珠算的普及,出現了許多珠算讀本,及至程大位的《直指算法統宗》﹝1592﹞問世,珠算理論已成系統,標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行,籌算幾乎絕跡,建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳,數學出現長期停滯。

        隋及唐初,印度數學和天文學知識曾傳入中國,但影響較細。到了十六世紀末,西方傳教士開始到中國活動,和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷﹝1607﹞,其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外,《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創,且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前,三角學只有零星的知識,而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》﹝2卷,1631﹞、《割圓八線表》﹝6卷﹞和羅雅谷的《測量全義》﹝10卷,1631﹞。在徐光啟主持編譯的《崇禎曆書》﹝137卷,1629-1633﹞中,介紹了有關圓椎曲線的數學知識。

        入清以後,會通中西數學的傑出代表是梅文鼎,他堅信中國傳統數學「必有精理」,對古代名著做了深入的研究,同時又能正確對待西方數學,使之在中國扎根,對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。

        清康熙帝愛好科學研究,他「御定」的《數理精蘊》﹝53卷,1723﹞,是一部比較全面的初等數學書,對當時的數學研究有一定影響。

        乾嘉年間形成一個以考據學為主的乾嘉學派,編成《四庫全書》,其中數學著作有《算經十書》和宋元時期的著作,為保存瀕於湮沒的數學典籍做出重要貢獻。

        在研究傳統數學時,許多數學家還有發明創造,例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》﹝約1859﹞中得到三角自乘垛求和公式,現在稱之為「李善蘭痤它﹛v。這些工作較宋元時期的數學進了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》46卷﹝1795-1810﹞,開數學史研究之先河。

        1840年鴉戰爭後,閉關鎖國政策被迫中止。同文館內添設「算學」,上海江南製造局內添設翻譯館,由此開始第二次翻譯引進的高潮。主要譯者和著作有:李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》後9卷﹝1857﹞,使中國有了完整的《幾何原本》中譯本;《代數學》13卷﹝1859﹞;《代微積拾級》18卷﹝1859﹞。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷,華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數術》25卷﹝1872﹞,《微積溯源》8卷﹝1874﹞,《決疑數學》10卷﹝1880﹞等。在這些譯著中,創造了許多數學名詞和術語,至今仍在應用。

        1898年建立京師大學堂,同文館併入。1905年廢除科舉,建立西方式學校教育,使用的課本也與西方其他各國相仿。

        近現代數學發展時期

        這一時期是從20世紀初至今的一段時間,常以1949年新中國成立為標誌劃分為兩個階段。

        中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀,1908年留美的鄭之蕃,1910年留美的胡明復和趙元任,1911年留美的姜立夫,1912年留法的何魯,1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來﹝1915年轉留法﹞,1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家,為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位,成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國,各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系,1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系,1921年和1926年熊慶來分別在東南大學﹝今南京大學﹞和清華大學建立數學系,不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系,到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部,開始招收研究生,陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵﹝1927﹞、陳省身﹝1934﹞、華羅庚﹝1936﹞、許寶騄﹝1936﹞等人,他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的,例如英國的羅素﹝1920﹞,美國的伯克霍夫﹝1934﹞、奧斯古德﹝1934﹞、維納﹝1935﹞,法國的阿達馬﹝1936﹞等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開,共有33名代表出席。1936年〈中國數學會學報〉和《數學雜誌》相繼問世,這些標誌著中國現代數學研究的進一步發展。

        解放以前的數學研究集中在純數學領域,在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面,陳建功的三角級數論,熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作,另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果;在數論與代數方面,華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓扑學方面,蘇步青的微分幾何學,江澤涵的代數拓扑學,陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作:在概率論與數理統計方面,許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密証明。此外,李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究,他們在古算史料的注釋整理和考証分析方面做了許多奠基性的工作,使我國的民族文化遺產重放光彩。

        194911月即成立中國科學院。19513月《中國數學學報》復刊﹝1952年改為《數學學報》﹞,195110月《中國數學雜誌》復刊﹝1953年改為《數學通報》﹞。19518月中國數學會召開建國後第一次國代表大會,討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。

        建國後的數學研究取得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆疊素數論》﹝1953﹞、蘇步青的《射影曲線概論》﹝1954﹞、陳建功的《直角函數級數的和》﹝1954﹞和李儼的《中算史論叢》5集﹝1954-1955﹞等專著,到1966年,共發表各種數學論文約2萬餘篇。除了在數論、代數、幾何、拓扑、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外,還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破,有許多論著達到世界先進水平,同時培養和成長起一大批優秀數學家。

        60年代後期,中國的數學研究基本停止,教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷,後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版,並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。

        197811月中國數學會召開第三次代表大會,標誌著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽,1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位,其中數學工作者佔2/31986年中國第一次派代表參加國際數學家大會,加入國際數學聯合會,吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鐘演講。近十幾年來數學研究碩果累累,發表論文專著的數量成倍增長,質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上,已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力,爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。

Source: http://www.edp.ust.hk/math/history/2/2_1.htm

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