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九 章 算 術       卷 第 一        方 田

Mathematics in Nine Chapters - Chapter 1 - Area

JiuZhang SuanShu

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tr. by Ming L. Pei (draft)

〔 一 〕 今 有 田 廣 十 五 步 , 從 十 六 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 畝 。


[1] Q: Given a rectangle of width 15 bu by length 16 bu, what is its area?

     A: One mu.

Tang Dynasty's print edition.


〔 二 〕 又 有 田 廣 十 二 步 , 從 十 四 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 百 六 十 八 步 。

方 田 術 曰 : 廣 從 步 數 相 乘 得 積 步 。

以 畝 法 二 百 四 十 步 除 之 , 即 畝 數 。 百 畝 為 一 頃 。


[2] Q: Given an area of width 12 bu by length 14 bu, what is the area?

     A: 168 square bu.

M: Multiply width to length to obtain the area.

240 square bu is one mu.
100 mu is one qing.

Tang Dynasty's print edition.


〔 三 〕 今 有 田 廣 一 里 , 從 一 里 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 三 頃 七 十 五 畝 。


[3] Q: Given a land of 1 li long and 1 li wide. What is its area?

     A: 3 qing 75 mu.

〔 四 〕 又 有 田 廣 二 里 , 從 三 里 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 二 十 二 頃 五 十 畝 。

          里 田 術 曰 : 廣 從 里 數 相 乘 得 積 里 。 以 三 百 七 十 五 乘 之 , 即 畝 數 。


[4] Q: Given a land with width of 2 li and length of 3 li. What is its area?

     A: 22 qing 50 mu.

     M: Multiply width and length in li units to get area in square li. Then multiply by 375 to convert it to mu unit.

〔 五 〕 今 有 十 八 分 之 十 二 。 問 約 之 得 幾 何 ?

荅 曰 : 三 分 之 二 。


[5] Q: Given a fractional number of 12 / 18. Reduce it.

     A: 2 / 3

〔 六 〕 又 有 九 十 一 分 之 四 十 九 。 問 約 之 得 幾 何 ?

荅 曰 : 十 三 分 之 七 。

          約 分 術 曰 : 可 半 者 半 之 , 不 可 半 者 , 副 置 分 母 子 之 數 , 以 少 減 多 , 更 相 減 損 , 求 其 等 也 。 以 等 數 約 之 。


[6] Q: Reduce 49 / 91

     A: 9 / 13

〔 七 〕 今 有 三 分 之 一 , 五 分 之 二 。 問 合 之 得 幾 何 ?

荅 曰 : 十 五 分 之 十 一 。


[7] Q: What is the sum of 1/3 and 2/5 ?

     A: 11 /15

〔 八 〕 又 有 三 分 之 二 , 七 分 之 四 , 九 分 之 五 。 問 合 之 得 幾 何 ?

荅 曰 : 得 一 、 六 十 三 分 之 五 十 。


[8] Q: 2/3 + 4/7 + 5/9 = ?

     A: 1 and 50/63

〔 九 〕 又 有 二 分 之 一 , 三 分 之 二 , 四 分 之 三 , 五 分 之 四 。 問 合 之 得 幾 何 ?

荅 曰 : 得 二 、 六 十 分 之 四 十 三 。

          合 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 并 以 為 實 , 母 相 乘 為 法 , 實 如 法 而 一 。 不 滿 法 者 , 以 法 命 之 。 其 母 同 者 , 直 相 從 之 。


[9] Q: 1/2 + 2/3 + 3/4 = ?

     A: 2 and 43/60

〔 一 0 〕 今 有 九 分 之 八 , 減 其 五 分 之 一 。 問 餘 幾 何 ?

荅 曰 : 四 十 五 分 之 三 十 一 。


[10] Q: From 8/9, subtract 1/5. What is the result?

       A: 31/45


〔 一 一 〕 又 有 四 分 之 三 , 減 其 三 分 之 一 。 問 餘 幾 何 ?

荅 曰 : 十 二 分 之 五 。

減 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 以 少 減 多 , 餘 為 實 , 母 相 乘 為 法 , 實 如 法 而 一 。


[11] Q: From 3/4, subtract 1/3. What is the result?

       A: 5/12.


〔 一 二 〕 今 有 八 分 之 五 , 二 十 五 分 之 十 六 。 問 孰 多 ? 多 幾 何 ?

荅 曰 : 二 十 五 分 之 十 六 多 , 多 二 百 分 之 三 。


[12] Q: Given two numbers 5/18 and 16 /25. Which is larger? By how much?

       A: 16 / 25 is larger. By 3/200.

〔 一 三 〕 又 有 九 分 之 八 , 七 分 之 六 。 問 孰 多 ? 多 幾 何 ?

荅 曰 : 九 分 之 八 多 , 多 六 十 三 分 之 二 。


[13] Q: Given two numbers 8 /9 and 6 / 7. Which is larger: By how much?

       A: 8 / 9 is larger. By 2 / 63.

〔 一 四 〕 又 有 二 十 一 分 之 八 , 五 十 分 之 十 七 。 問 孰 多 ? 多 幾 何 ?

荅 曰 : 二 十 一 分 之 八 多 , 多 一 千 五 十 分 之 四 十 三 。

課 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 以 少 減 多 , 餘 為 實 , 母 相 乘 為 法 , 實 如 法 而 一 , 即 相 多 也 。


[14] Q: Given two numbers 8 / 21 and 17 / 50. Which is larger? By how much?

       A: 8 / 21 is larger. By 43 / 1050

〔 一 五 〕 今 有 三 分 之 一 , 三 分 之 二 , 四 分 之 三 。 問 減 多 益 少 , 各 幾 何 而 平 ?

荅 曰 : 減 四 分 之 三 者 二 , 三 分 之 二 者 一 , 并 以 益 三 分 之 一 , 而 各 平 於 十 二 分 之 七 。


[15] Q: Given 3 numbers 1 / 3, 2 / 3 and 3 / 4. How much must each number be increased / decreased, so as to make all three numbers equal?

       A: Reduce 3 / 4 by 2 /12, 2 / 3 by 1 / 12 and add these to 1 / 3. Then all equal to 7 / 12.

〔 一 六 〕 又 有 二 分 之 一 , 三 分 之 二 , 四 分 之 三 。 問 減 多 益 少 , 各 幾 何 而 平 ?

荅 曰 : 減 三 分 之 二 者 一 , 四 分 之 三 者 四 , 并 以 益 二 分 之 一 , 而 各 平 於 三 十 六 分 之 二 十 三 。

            平 分 術 曰 : 母 互 乘 子 , 副 并 為 平 實 , 母 相 乘 為 法 。 以 列 數 乘 未 并 者 各 自 為 列 實 。 亦 以 列 數 乘 法 , 以 平 實 減 列 實 , 餘 , 約 之 為 所 減 。 并 所 減 以 益 於 少 , 以 法 命 平 實 , 各 得 其 平 。


[16] Q: Given 3 numbers 1/ 2, 2 / 3 and 3 / 4. How much must each number be increased / decreased, so as to make all three numbers equal?

       A: Reduce 2 / 3 by 1; 3/ 4 by 4; and add these to 1 / 2. All will equal to 23 / 36.

〔 一 七 〕 今 有 七 人 , 分 八 錢 三 分 錢 之 一 。 問 人 得 幾 何 ?

荅 曰 : 人 得 一 錢 、 二 十 一 分 錢 之 四 。


[17] Q: 7 persons equally divide 8 and 1/3 cents. How much does one person get?

       A: Each person gets 1 and 4/21 cents.

〔 一 八 〕 又 有 三 人 , 三 分 人 之 一 , 分 六 錢 三 分 錢 之 一 , 四 分 錢 之 三 。 問 人 得 幾 何 ?

荅 曰 : 人 得 二 錢 、 八 分 錢 之 一 。

            經 分 術 曰 : 以 人 數 為 法 , 錢 數 為 實 , 實 如 法 而 一 。 有 分 者 通 之 , 重 有 分 者 同 而 通 之 。


[18] Q: 3 and 1 / 3 persons will divide equally 6 and 1 / 3 cents plus 3 / 4 cent. How much does one person get?

       A: One person gets 2 and 1 / 8 cents.

〔 一 九 〕 今 有 田 廣 七 分 步 之 四 , 從 五 分 步 之 三 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 三 十 五 分 步 之 十 二 。


[19] Q: A plot of land is 4 / 7 bu wide and 3 / 7 bu long. What is the area?

       A: 12 / 35 square bu.

〔 二 0 〕 又 有 田 廣 九 分 步 之 七 , 從 十 一 分 步 之 九 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 十 一 分 步 之 七 。


[20] Q: A land is 7 / 9 bu wide and 9 / 11 bu long. What's the area?

       A: 7 / 11 square bu.

〔 二 一 〕 又 有 田 廣 五 分 步 之 四 , 從 九 分 步 之 五 , 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 九 分 步 之 四 。

            乘 分 術 曰 : 母 相 乘 為 法 , 子 相 乘 為 實 , 實 如 法 而 一 。


[21] Q: The land is 4 / 5 bu wide and 5 /9 bu long. What's the area?

       A: 4 / 9 square bu.

〔 二 二 〕 今 有 田 廣 三 步 、 三 分 步 之 一 , 從 五 步 、 五 分 步 之 二 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 十 八 步 。


[22] Q: Given a field with width of 3 1/3 bu and length of 5 2/5 bu. What is its area?

       A: 18 bu.

〔 二 三 〕 又 有 田 廣 七 步 、 四 分 步 之 三 , 從 十 五 步 、 九 分 步 之 五 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 百 二 十 步 、 九 分 步 之 五 。


[23] Q: Given a field with width of 7 3/4 bu and length of 15 5/9 bu. What is its area?

       A: 120 5/9 bu.

〔 二 四 〕 又 有 田 廣 十 八 步 、 七 分 步 之 五 , 從 二 十 三 步 、 十 一 分 步 之 六 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 畝 二 百 步 、 十 一 分 步 之 七 。

            大 廣 田 術 曰 : 分 母 各 乘 其 全 , 分 子 從 之 , 相 乘 為 實 。 分 母 相 乘 為 法 。 實 如 法 而 一 。


[24] Q: Given a field with a width of 18 5/7 bu and length of 23 6/11 bu. What's the area?

       A: 1 mu 200 7/11 square bu.

〔 二 五 〕 今 有 圭 田 廣 十 二 步 , 正 從 二 十 一 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 百 二 十 六 步 。


[25] Q: Given a triangular field of width 12 bu and perpendicular length of 21 bu. What's the area?

       A: 126 square bu.

〔 二 六 〕 又 有 圭 田 廣 五 步 、 二 分 步 之 一 , 從 八 步 、 三 分 步 之 二 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 二 十 三 步 、 六 分 步 之 五 。

            術 曰 : 半 廣 以 乘 正 從 。


[26] Q: Given another triangular field of width 5 1/2 bu and perpendicular length of 8 2/3 bu. What's the area?

       A: 23 5/6 square bu.

       M: Multiply 1/2 of width by the perpendicular length.

〔 二 七 〕 今 有 邪 田 , 一 頭 廣 三 十 步 , 一 頭 廣 四 十 二 步 , 正 從 六 十 四 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 九 畝 一 百 四 十 四 步 。


[27] Q: Given a trapezoidal field. Width of one side is 30 bu and width of the other side is 42 bu. The perpendicular height is 64 bu. what is its area?

       A: 9 mu 144 square bu.

〔 二 八 〕 又 有 邪 田 , 正 廣 六 十 五 步 , 一 畔 從 一 百 步 , 一 畔 從 七 十 二 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 二 十 三 畝 七 十 步 。

            術 曰 : 并 兩 邪 而 半 之 , 以 乘 正 從 若 廣 。 又 可 半 正 從 若 廣 , 以 乘 并 , 畝 法 而 一 。


[28] Q: Given another trapezoidal field. The perpendicular width is 65 bu. One side is 100bu and the other side is 72 bu. What is its area?

       A: 23 mu 70 square bu.

       M: Add two sides and divide the sum by 2. Multiply by the perpendicular width. Alternatively, multiply half of the perpendicular height to the sum of two sides. Convert to mu units as usual.

〔 二 九 〕 今 有 箕 田 , 舌 廣 二 十 步 , 踵 廣 五 步 , 正 從 三 十 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 畝 一 百 三 十 五 步 。


[29] Q: Given a trapezoidal field. Width of one side is 20 bu; width of the other side is 5 bu, and the perpendicular height is 30 bu. What is the area?

       A: 1 mu 135 square bu.

〔 三 0 〕 又 有 箕 田 , 舌 廣 一 百 一 十 七 步 , 踵 廣 五 十 步 , 正 從 一 百 三 十 五 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 四 十 六 畝 二 百 三 十 二 步 半 。

            術 曰 : 并 踵 舌 而 半 之 , 以 乘 正 從 。 畝 法 而 一 。


[30] Q: Given a trapezoidal field. Width of one side is 117 bu; width of the other side is 50 bu, and the perpendicular height is 135 bu. What is the area?

       A: 46 mu 232 1/2 square bu.

       M: Add two widths and divide by two. Multiply by height. Convert to mu units as usual.

〔 三 一 〕 今 有 圓 田 , 周 三 十 步 , 徑 十 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 七 十 五 步 。


[31] Q: Given a circular field whose circumference is 30 bu and diameter is 10 bu. What is its area?

       A: 75 square bu

〔 三 二 〕 又 有 圓 田 , 周 一 百 八 十 一 步 , 徑 六 十 步 、 三 分 步 之 一 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 十 一 畝 九 十 步 、 十 二 分 步 之 一 。

            術 曰 : 半 周 半 徑 相 乘 得 積 步 。

            又 術 曰 : 周 徑 相 乘 , 四 而 一 。

            又 術 曰 : 徑 自 相 乘 , 三 之 , 四 而 一 。

            又 術 曰 : 周 自 相 乘 , 十 二 而 一 。


[32] Q: Given another circular field with circumference of 181 bu and diameter of 60 1/3 bu. How large is the area?

       A: 11 mu 90 1/12 square bu

       M: Multiply one-half of circumference by one-half of diameter to get its area.

       Alternate M: Multiply circumference by diameter. Then divide by 4.

〔 三 三 〕 今 有 宛 田 , 下 周 三 十 步 , 徑 十 六 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 百 二 十 步 。


[33] Q: We have a semi-circular field. Circumference of the semi-circle is 30 bu, and diameter is 16 bu. What's the area?

       A: 120 square bu.

〔 三 四 〕 又 有 宛 田 , 下 周 九 十 九 步 , 徑 五 十 一 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 五 畝 六 十 二 步 、 四 分 步 之 一 。

            術 曰 : 以 徑 乘 周 , 四 而 一 。


[34] Q: Given another semi-circular field with semi-circular circuference of 99 bu and diameter of 51 bu. What's the area?

       A: 5 mu 62 1/4 square bu.

       M: Multiply diameter by circumference. Then divide by 4.

〔 三 五 〕 今 有 弧 田 , 弦 三 十 步 , 矢 十 五 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 一 畝 九 十 七 步 半 。


[35] Q:

       A:

〔 三 六 〕 又 有 弧 田 , 弦 七 十 八 步 、 二 分 步 之 一 , 矢 十 三 步 、 九 分 步 之 七 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 二 畝 一 百 五 十 五 步 、 八 十 一 分 步 之 五 十 六 。

            術 曰 : 以 弦 乘 矢 , 矢 又 自 乘 , 并 之 , 二 而 一 。


[36] Q:

       A:

〔 三 七 〕 今 有 環 田 , 中 周 九 十 二 步 , 外 周 一 百 二 十 二 步 , 徑 五 步 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 二 畝 五 十 五 步 。


[37] Q: Given a circular ring field. Inner curcumference is 92 bu and outer circumference is 122 bu. Radial distance is 5 bu. What is the area?

       A: 2 mu 55 square bu.

〔 三 八 〕 又 有 環 田 , 中 周 六 十 二 步 、 四 分 步 之 三 , 外 周 一 百 一 十 三 步 、 二 分 步 之 一 , 徑 十 二 步 、 三 分 步 之 二 。 問 為 田 幾 何 ?

荅 曰 : 四 畝 一 百 五 十 六 步 、 四 分 步 之 一 。

            術 曰 : 并 中 外 周 而 半 之 , 以 徑 乘 之 為 積 步 。

            密 率 術 曰 : 置 中 外 周 步 數 , 分 母 、 子 各 居 其 下 。 母 互 乘 子 , 通 全 步 , 內 分 子 。 以 中 周 減 外 周 , 餘 半 之 , 以 益 中 周 。 徑 亦 通 分 內 子 , 以 乘 周 為 實 。 分 母 相 乘 為 法 , 除 之 為 積 步 , 餘 積 步 之 分 。 以 畝 法 除 之 , 即 畝 數 也 。


[38] Q: Given another circular ring field. Inner curcumference is 62 3/4 bu and outer circumference is 113 1/2 bu. Radial distance is 12 2/3 bu. What is the area?

       A: 4 mu 156 1/4 square bu

       M: Add inner and outer circumferences and divide by two. Multiply by radial distance to obtain the area.