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　 　 　 九 章 算 術 卷 第 九    　 　 勾 股

Mathematics in Nine Chapters - Chapter 3 - Right-angle Triangle

JiuZhang SuanShu

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tr. by Ming L. Pei (draft)

〔 一 〕 今 有 勾 三 尺 ， 股 四 尺 ， 問 為 弦 幾 何 ？ 　 　 　 荅 曰 ： 五 尺 。	[1] Q: The short side is 3, and the long side is 4. What is the hypoteneus?    A: 5
	[2] Q:      A:
	[3] Q:
	[4] Q:
	[4] Q:

　 　 　 九 章 算 術 卷 第 九

　 　 勾 股

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 五 尺 。 aa

〔 二 〕 今 有 弦 五 尺 ， 勾 三 尺 ， 問 為 股 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 四 尺 。

〔 三 〕 今 有 股 四 尺 ， 弦 五 尺 ， 問 為 勾 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 三 尺 。

　 　 　 　 　 勾 股 術 曰 ： 勾 股 各 自 乘 ， 并 ， 而 開 方 除 之 ， 即 弦 。

　 　 　 　 　 又 股 自 乘 ， 以 減 弦 自 乘 ， 其 餘 開 方 除 之 ， 即 勾 。

　 　 　 　 　 又 勾 自 乘 ， 以 減 弦 自 乘 ， 其 餘 開 方 除 之 ， 即 股 。

〔 四 〕 今 有 圓 材 徑 二 尺 五 寸 ， 欲 為 方 版 ， 令 厚 七 寸 。 問 廣 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 二 尺 四 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 徑 二 尺 五 寸 自 乘 ， 以 七 寸 自 乘 減 之 ， 其 餘 開 方 除 之 ， 即 廣 。

〔 五 〕 今 有 木 長 二 丈 ， 圍 之 三 尺 。 葛 生 其 下 ， 纏 木 七 周 ， 上 與 木 齊 。 問 葛 長 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 二 丈 九 尺 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 七 周 乘 三 尺 為 股 ， 木 長 為 勾 ， 為 之 求 弦 。 弦 者 ， 葛 之 長 。

〔 六 〕 今 有 池 方 一 丈 ， 葭 生 其 中 央 ， 出 水 一 尺 。 引 葭 赴 岸 ， 適 與 岸 齊 。 問 水 深 、 葭 長 各 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ：
　 　 　 　 　 　 　 水 深 一 丈 二 尺 ；
　 　 　 　 　 　 　 葭 長 一 丈 三 尺 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 半 池 方 自 乘 ， 以 出 水 一 尺 自 乘 ， 減 之 ， 餘 ， 倍 出 水 除 之 ， 即 得 水 深 。 加 出 水 數 ， 得 葭 長 。

〔 七 〕 今 有 立 木 ， 繫 索 其 末 ， 委 地 三 尺 。 引 索 卻 行 ， 去 本 八 尺 而 索 盡 。 問 索 長 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 一 丈 二 尺 、 六 分 尺 之 一 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 去 本 自 乘 ， 令 如 委 數 而 一 ， 所 得 ， 加 委 地 數 而 半 之 ， 即 索 長

〔 八 〕 今 有 垣 高 一 丈 。 倚 木 於 垣 ， 上 與 垣 齊 。 引 木 卻 行 一 尺 ， 其 木 至 地 。 問 木 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 五 丈 五 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 垣 高 十 尺 自 乘 ， 如 卻 行 尺 數 而 一 ， 所 得 ， 以 加 卻 行 尺 數 而 半 之 ， 即 木 長 數 。

〔 九 〕 今 有 圓 材 ， 埋 在 壁 中 ， 不 知 大 小 。 以 鐻 鐻 之 ， 深 一 寸 ， 鐻 道 長 一 尺 。 問 徑 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 材 徑 二 尺 六 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 半 鐻 道 自 乘 ， 如 深 寸 而 一 ， 以 深 寸 增 之 ， 即 材 徑 。

〔 一 ０ 〕 今 有 開 門 去 閫 一 尺 ， 不 合 二 寸 。 問 門 廣 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 一 丈 一 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 去 閫 一 尺 自 乘 ， 所 得 ， 以 不 合 二 寸 半 之 而 一 ， 所 得 ， 增 不 合 之 半 ， 即 得 門 廣 。

〔 一 一 〕 今 有 戶 高 多 於 廣 六 尺 八 寸 ， 兩 隅 相 去 適 一 丈 。 問 戶 高 、 廣 各 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ：
　 　 　 　 　 　 　 廣 二 尺 八 寸 ；
　 　 　 　 　 　 　 高 九 尺 六 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 一 丈 自 乘 為 實 。 半 相 多 ， 令 自 乘 ， 倍 之 ， 減 實 ， 半 其 餘 。 以 開 方 除 之 ， 所 得 ， 減 相 多 之 半 ， 即 戶 廣 。 加 相 多 之 半 ， 即 戶 高 。

〔 一 二 〕 今 有 戶 不 知 高 廣 ， 竿 不 知 長 短 。 橫 之 不 出 四 尺 ， 從 之 不 出 二 尺 ， 邪 之 適 出 。 問 戶 高 、 廣 、 袤 各 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ：
　 　 　 　 　 　 　 廣 六 尺 ，
　 　 　 　 　 　 　 高 八 尺 ，
　 　 　 　 　 　 　 袤 一 丈 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 從 、 橫 不 出 相 乘 ， 倍 ， 而 開 方 除 之 。 所 得 加 從 不 出 即 戶 廣 ， 加 橫 不 出 即 戶 高 ， 兩 不 出 加 之 ， 得 戶 袤 。

〔 一 三 〕 今 有 竹 高 一 丈 ， 末 折 抵 地 ， 去 本 三 尺 。 問 折 者 高 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 四 尺 、 二 十 分 尺 之 十 一 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 去 本 自 乘 ， 令 如 高 而 一 ， 所 得 ， 以 減 竹 高 而 半 其 餘 ， 即 折 者 之 高 也 。

〔 一 四 〕 今 有 二 人 同 所 立 。 甲 行 率 七 ， 乙 行 率 三 。 乙 東 行 。 甲 南 行 十 步 而 邪 東 北 與 乙 會 。 問 甲 乙 行 各 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ：
　 　 　 　 　 　 　 乙 東 行 一 十 步 半 ；
　 　 　 　 　 　 　 甲 邪 行 一 十 四 步 半 及 之 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 七 自 乘 ， 三 亦 自 乘 ， 并 而 半 之 ， 以 為 甲 邪 行 率 。 邪 行 率 減 於 七 自 乘 ， 餘 為 南 行 率 。 以 三 乘 七 為 乙 東 行 率 。 置 南 行 十 步 ， 以 甲 邪 行 率 乘 之 ， 副 置 十 步 ， 以 乙 東 行 率 乘 之 ， 各 自 為 實 。 實 如 南 行 率 而 一 ， 各 得 行 數 。

〔 一 五 〕 今 有 勾 五 步 ， 股 十 二 步 。 問 勾 中 容 方 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 方 三 步 、 十 七 分 步 之 九 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 并 勾 、 股 為 法 ， 勾 股 相 乘 為 實 ， 實 如 法 而 一 ， 得 方 一 步 。

〔 一 六 〕 今 有 勾 八 步 ， 股 十 五 步 。 問 勾 中 容 圓 ， 徑 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 六 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 八 步 為 勾 ， 十 五 步 為 股 ， 為 之 求 弦 。 三 位 并 之 為 法 ， 以 勾 乘 股 ， 倍 之 為 實 。 實 如 法 得 徑 一 步 。

〔 一 七 〕 今 有 邑 方 二 百 步 ， 各 中 開 門 。 出 東 門 十 五 步 有 木 。 問 出 南 門 幾 何 步 而 見 木 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 六 百 六 十 六 步 、 太 半 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 出 東 門 步 數 為 法 ， 半 邑 方 自 乘 為 實 ， 實 如 法 得 一 步 。

〔 一 八 〕 今 有 邑 ， 東 西 七 里 ， 南 北 九 里 ， 各 中 開 門 。 出 東 門 十 五 里 有 木 。 問 出 南 門 幾 何 步 而 見 木 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 三 百 一 十 五 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 東 門 南 至 隅 步 數 ， 以 乘 南 門 東 至 隅 步 數 為 實 。 以 木 去 門 步 數 為 法 。 實 如 法 而 一 。

〔 一 九 〕 今 有 邑 方 不 知 大 小 ， 各 中 開 門 。 出 北 門 三 十 步 有 木 ， 出 西 門 七 百 五 十 步 見 木 。 問 邑 方 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 一 里 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 兩 出 門 步 數 相 乘 ， 因 而 四 之 ， 為 實 。 開 方 除 之 ， 即 得 邑 方 。

〔 二 ０ 〕 今 有 邑 方 不 知 大 小 ， 各 中 開 門 。 出 北 門 二 十 步 有 木 。 出 南 門 十 四 步 ， 折 而 西 行 一 千 七 百 七 十 五 步 見 木 。 問 邑 方 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 二 百 五 十 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 出 北 門 步 數 乘 西 行 步 數 ， 倍 之 ， 為 實 。 并 出 南 門 步 數 為 從 法 ， 開 方 除 之 ， 即 邑 方 。

〔 二 一 〕 今 有 邑 方 十 里 ， 各 中 開 門 。 甲 乙 俱 從 邑 中 央 而 出 。 乙 東 出 ； 甲 南 出 ， 出 門 不 知 步 數 ， 邪 向 東 北 磨 邑 ， 適 與 乙 會 。 率 甲 行 五 ， 乙 行 三 。 問 甲 、 乙 行 各 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ：
　 　 　 　 　 　 　 甲 出 南 門 八 百 步 ， 邪 東 北 行 四 千 八 百 八 十 七 步 半 ， 及 乙 。
　 　 　 　 　 　 　 乙 東 行 四 千 三 百 一 十 二 步 半 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 五 自 乘 ， 三 亦 自 乘 ， 并 而 半 之 ， 為 邪 行 率 。 邪 行 率 減 於 五 自 乘 者 ， 餘 ， 為 南 行 率 。 以 三 乘 五 ， 為 乙 東 行 率 。 置 邑 方 半 之 ， 以 南 行 率 乘 之 ， 如 東 行 率 而 一 ， 即 得 出 南 門 步 數 。 以 增 邑 方 半 ， 即 南 行 。 置 南 行 步 求 弦 者 ， 以 邪 行 率 乘 之 ， 求 東 者 以 東 行 率 乘 之 ， 各 自 為 實 。 實 如 南 行 率 得 一 步 。

〔 二 二 〕 有 木 去 人 不 知 遠 近 。 立 四 表 ， 相 去 各 一 丈 ， 令 左 兩 表 與 所 望 參 相 直 。 從 後 右 表 望 之 ， 入 前 右 表 三 寸 。 問 木 去 人 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 三 十 三 丈 三 尺 三 寸 、 少 半 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 一 丈 自 乘 為 實 ， 以 三 寸 為 法 ， 實 如 法 而 一 。

〔 二 三 〕 有 山 居 木 西 ， 不 知 其 高 。 山 去 木 五 十 三 里 ， 木 高 九 丈 五 尺 。 人 立 木 東 三 里 ， 望 木 末 適 與 山 峰 斜 平 。 人 目 高 七 尺 。 問 山 高 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 一 百 六 十 四 丈 九 尺 六 寸 、 太 半 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 置 木 高 減 人 目 高 七 尺 ， 餘 ， 以 乘 五 十 三 里 為 實 。 以 人 去 木 三 里 為 法 。 實 如 法 而 一 ， 所 得 ， 加 木 高 即 山 高 。

〔 二 四 〕 今 有 井 徑 五 尺 ， 不 知 其 深 。 立 五 尺 木 於 井 上 ， 從 木 末 望 水 岸 ， 入 徑 四 寸 。 問 井 深 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 五 丈 七 尺 五 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 置 井 徑 五 尺 ， 以 入 徑 四 寸 減 之 ， 餘 ， 以 乘 立 木 五 尺 為 實 。 以 入 徑 四 寸 為 法 。 實 如 法 得 一 寸 。